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1、
人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料
課時(shí)提升作業(yè)(十六)
平面與平面垂直的性質(zhì)
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.平面α⊥平面β,直線a∥α,則 ( )
A.a⊥β B.a∥β
C.a與β相交 D.以上都有可能
【解析】選D.因?yàn)閍∥α,平面α⊥平面β,所以直線a與β垂直、相交、平行都有可能.
2.已知三個(gè)平面α,β,γ,若β⊥γ,且α與γ相交但不垂直,則 ( )
A.存在a?α,a⊥γ B.存在a?α,a∥γ
C.任意b?β,b⊥γ D.任意b?β,b∥γ
【解析】選B.因?yàn)槿齻€(gè)平面α,β,γ,
2、若β⊥γ,且α與γ相交但不垂直,則可知存在a?α,a∥γ.
3.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,則應(yīng)增加的條件是 ( )
A.m∥n B.n⊥m
C.n∥α D.n⊥α
【解析】選B.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,應(yīng)增加的條件n⊥m,才能使得n⊥β.
4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,點(diǎn)A∈α,Al,直線AB∥l,直線AC⊥l,直線m∥α,m∥β,則下列四種位置關(guān)系中,不一定成立的是 ( )
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
【解析】選D.如圖,AB
3、∥l∥m,AC⊥l,m∥l?AC⊥m,AB∥l?AB∥β.
5.(2015鄭州高一檢測)已知平面α,β,γ,則下列命題中正確的是 ( )
A.α⊥β,β⊥γ,則α∥γ
B.α∥β,β⊥γ,則α⊥γ
C.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,則a⊥b
D.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,則b⊥α
【解析】選B.A中α,γ可以相交;C中如圖:a與b不一定垂直;D中b僅垂直于α的一條直線a,不能判定b⊥α.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.平面α⊥平面β,α∩β=l,n?β,n⊥l,直線m⊥α,則直線m與n的位置關(guān)系是 .
【解析】因?yàn)棣痢挺?α∩β=l,n?
4、β,n⊥l,所以n⊥α.又m⊥α,所以m∥n.
答案:平行
7.(2015太原高一檢測)已知平面α,β,γ,直線l,m滿足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述條件可推出的結(jié)論有 .(請將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)
【解析】因?yàn)棣谩搔?l,所以l?γ,因?yàn)棣痢挺?γ∩α=m,l⊥m,
所以l⊥α,又l?β,所以α⊥β.由于β可以繞l轉(zhuǎn)動(dòng),位置不定,所以m⊥β和β⊥γ不一定成立.即②④正確,①③錯(cuò)誤.
答案:②④
【誤區(qū)警示】應(yīng)用面面垂直定理時(shí),注意三點(diǎn)
(1)兩個(gè)平面垂直是前提條件.
(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)
5、.
(3)直線必須垂直于它們的交線.
8.(2015大同高一檢測)如圖,空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,
∠BAD=90,且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是 .
【解析】過A作AO⊥BD于O點(diǎn),
因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,
所以AO⊥平面BCD,則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.
因?yàn)椤螧AD=90,AB=AD,所以∠ADO=45.
答案:45
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.(2015臨沂高一檢測)如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)面SDC⊥底面ABCD,求證:平面SCD⊥平面SBC.
【證明】
6、因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD,
平面SDC∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD,
所以BC⊥平面SCD.
又因?yàn)锽C?平面SBC,
所以平面SCD⊥平面SBC.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥l,BC?β,DE?β,BC⊥DE.求證:AC⊥DE.
【證明】因?yàn)棣痢挺?α∩β=l,AB?α,AB⊥l,所以AB⊥β.
因?yàn)镈E?β,所以AB⊥DE.
因?yàn)锽C⊥DE,AB∩BC=B,
所以DE⊥平面ABC.
因?yàn)锳C?平面ABC,所以AC⊥DE.
10.如圖,已知平面α⊥平面β,在α與β的交線上取線段AB
7、=4cm,AC,BD分別在平面α和平面β內(nèi),它們都垂直于交線AB,并且AC=3cm,BD=12cm,求CD的長.
【解析】連接BC.因?yàn)棣痢挺?α∩β=AB,BD⊥AB,
所以BD⊥平面α.
因?yàn)锽C?α,所以BD⊥BC,
在Rt△BAC中,
BC=AC2+AB2=32+42=5,
在Rt△DBC中,CD=BC2+BD2=52+122=13,
所以CD長為13cm.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知在四棱錐S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,AD⊥AB,E為棱SB上的一點(diǎn),平面EDC⊥平面SBC.
證明:(1)DE⊥平面SBC.(2)
8、SE=2EB.
【證明】(1)如圖,因?yàn)镾D⊥平面ABCD,
故BC⊥SD,又BC⊥BD,
所以BC⊥平面BDS,所以BC⊥DE.
作BK⊥EC,K為垂足,由平面EDC⊥平面SBC,平面EDC∩平面SBC=EC,故BK⊥平面EDC.
又DE?平面EDC,所以BK⊥DE.
又因?yàn)锽K?平面SBC,BC?平面SBC,BK∩BC=B,
所以DE⊥平面SBC.
(2)由(1)知DE⊥SB,DB=AD2+BA2=2,
所以SB=SD2+DB2=22+2=6.
在直角三角形SDB中,
由等積法知SDDB=SBDE,
所以DE=SDDBSB=233.
EB=DB2-DE2=
9、63,SE=SB-EB=263.
所以SE=2EB.
(20分鐘 40分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.如圖所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與兩平面α,β所成的角分別為π4和π6.過A,B分別作兩平面交線的垂線,垂足分別為A′、B′,則AB∶A′B′等于
( )
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3
【解析】選A.如圖,由已知得AA′⊥β,∠ABA′=π6,BB′⊥α,∠BAB′=π4,設(shè)AB=a,則BA′=32a,BB′=22a,在Rt△BA′B′中,A′B′=12a,所以ABAB=21.
2.(2015聊城
10、高一檢測)如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,點(diǎn)P,A,B是定點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖形是 ( )
A.一條線段
B.一條直線
C.一個(gè)圓
D.一個(gè)圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)
【解析】選D.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.
又因?yàn)锽C?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90,所以動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖形是以AB為直徑的圓,除去A和B兩點(diǎn).
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2015安慶高一檢測)α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α及β之外的兩
11、條不同的直線,給出四個(gè)論斷:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題: .
【解析】利用面面垂直的判定,可知①③④?②為真;利用面面垂直的性質(zhì),可知②③④?①為真.所以應(yīng)填“若①③④則②”,或“若②③④則①”.
答案:若①③④則②(或若②③④則①)
4.(2015合肥高一檢測)如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥BD,沿BD將△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AC,則在四面體ABCD的四個(gè)面中,互相垂直的平面的對數(shù)為 .
【解析】因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,
平面ABD∩平
12、面BCD=BD,AB⊥BD,
所以AB⊥平面BCD.
所以平面ABC⊥平面BCD,
因?yàn)锳B⊥BD,AB∥CD,所以CD⊥BD.
又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,
所以CD⊥平面ABD,
所以平面ACD⊥平面ABD,共3對.
答案:3
【延伸拓展】在垂直的判定定理和性質(zhì)定理中,有很多限制條件,如“相交直線”“線在面內(nèi)”“平面經(jīng)過一直線”等.這些條件一方面有很強(qiáng)的約束性,另一方面又為證明指出了方向.在利用定理時(shí),既要注意定理的嚴(yán)謹(jǐn)性,又要注意推理的規(guī)律性.
三、解答題(每小題10分,共20分)
5.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA⊥PD,底面
13、ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90,AD=3BC,O是AD上一點(diǎn).
(1)若CD∥平面PBO,試指出點(diǎn)O的位置.
(2)求證:平面PAB⊥平面PCD.
【解析】(1)因?yàn)镃D∥平面PBO,CD?平面ABCD,
且平面ABCD∩平面PBO=BO,
所以BO∥CD.
又BC∥AD,所以四邊形BCDO為平行四邊形.
則BC=DO,而AD=3BC,
所以AD=3OD,即點(diǎn)O是靠近點(diǎn)D的線段AD上的一個(gè)三等分點(diǎn).
(2)因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,AB?底面ABCD,且AB⊥AD,
所以AB⊥平面PAD.
又PD?平面PAD,所
14、以AB⊥PD.
又PA⊥PD,且PA?平面PAB,AB?平面PAB,AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB.
又PD?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.
6.如圖,已知V是△ABC所在平面外一點(diǎn),VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC,求證:△ABC是直角三角形.
【證明】過B作BD⊥VA于D,
因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面VAC,所以BD⊥平面VAC,
所以BD⊥AC,又因?yàn)閂B⊥平面ABC,所以VB⊥AC,
VB∩BD=B,
所以AC⊥平面VAB,所以AC⊥BA,
即△ABC是直角三角形.
【拓展延伸】垂直關(guān)系的知識總結(jié)
線面垂直的關(guān)鍵,定義來證最常見;
判定定理也常用,它的意義要記清;
平面之內(nèi)兩直線,兩線交于一個(gè)點(diǎn);
面外還有一條線,垂直兩線是條件.
面面垂直要證好,原有圖中去尋找;
若是這樣還不好,輔助線面是個(gè)寶.
先作交線的垂線,面面轉(zhuǎn)為線和面;
再證一步線和線,面面垂直即可見.
借助輔助線和面,加的時(shí)候不能亂;
以某性質(zhì)為基礎(chǔ),不能主觀憑臆斷.
判斷線和面垂直,線垂面中兩交線.
兩線垂直同一面,相互平行共伸展.
兩面垂直同一線,一面平行另一面.
要讓面和面垂直,面過另面一垂線.
面面垂直成直角,線面垂直記心間.
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