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1、
高考數學精品復習資料
2019.5
高考理科數學考點分類自測：平面向量的數量積及平面向量的應用
一、選擇題
1．若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，
則c(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于( )
A．－ B.
C. D.
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)且ab＝10，則|a－b|＝( )
A．－10 B．10
C．－ D.
4．
2、若a，b，c均為單位向量，且ab＝0，(a－c)(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為( )
A.－1 B．1
C. D．2
5．已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題
p1：|a＋b|>1?θ∈[0，) p2：|a＋b|>1?θ∈(，π]
p3：|a－b|>1?θ∈[0，) p4：|a－b|>1?θ∈(，π]
其中的真命題是( )
A．p1，p4 B．p1，p3
C．p2，p3 D．p2，p4
6．已知|a|＝2|b|≠0，且關于x的函數f(x)＝x3＋|a|x2＋abx在R上有極值，則a與b的夾角范圍
3、為( )
A．(0，) B．(，π]
C．(，π] D．(，]
二、填空題
7．已知兩個單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1b2＝________.
8．已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.
9．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，則a與b的夾角為____．
三、解答題
10．已知a、b、c是同一平面內的三個向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐標；
(2)若|b|＝，且a＋2b與2a－b垂直，
4、求a與b的夾角θ.
11．設a＝(1＋cos x,1＋sin x)，b＝(1,0)，c＝(1,2)．
(1)求證：(a－b)⊥(a－c)；
(2)求|a|的最大值，并求此時x的值．
12．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.若＝＝k(k∈R)．
(1)判斷△ABC的形狀；
(2)若k＝2，求b的值．
詳解答案
一、選擇題
1．解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
則c(a＋2b)＝ca＋2cb＝0.答案：D
2．解析：2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，則cos〈2a＋b，a－b〉＝＝
5、＝，故夾角為.答案：C
3．解析：因為ab＝10，所以x＋8＝10，x＝2，所以a－b＝(－1，－2)，故|a－b|＝.
答案：D
4．解析：由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由ab＝0，及 (a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)c≥c2＝1，因為|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2ac－2bc，
所以有|a＋b－c|2＝3－2(ac＋bc)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案：B
5．解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2ab＋b2>1，∵|a|＝1，
|b|＝1，∴ab>－.故θ∈[0，)．當θ∈[0，)時，ab>
6、－，|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a2－2ab＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，
∴ab<.故θ∈(，π]，反之也成立．
答案：A
6．解析：f(x)＝x3＋|a|x2＋abx在R上有極值，即f′(x)＝x2＋|a|x＋ab＝0有兩個不同的實數解，
故Δ＝|a|2－4ab＞0?cos〈a，b〉＜，又〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉∈(，π]．
答案：C
二、填空題
7．解析：由題設知|e1|＝|e2|＝1，且e1e2＝，所以b1b2＝(e1－2e2)(3e1＋4e2)＝3e－2e1e2－8e＝3－2－8＝－6
答案：
7、－6
8．解析：∵a＋b與ka－b垂直，
∴(a＋b)(ka－b)＝0，
化簡得(k－1)(ab＋1)＝0，根據a、b向量不共線，且均為單位向量得ab＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.
答案：1
9．解析：由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，得ab＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60.
答案：
三、解答題
10．解：(1)設c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得
，∴或，
∴c＝ (2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)(2a－b)＝0，
即2a2＋3ab－2b2＝0.
∴2|a|2＋3ab－
8、2|b|2＝0.
∴25＋3ab－2＝0，∴ab＝－.
∴cos θ＝＝＝－1.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
11．解：(1)證明：a－b＝(cos x,1＋sin x)，
a－c＝(cos x，sin x－1)，
(a－b)(a－c)＝(cos x,1＋sin x)(cos x，sin x－1)＝cos2x＋sin2x－1＝0.
∴(a－b)⊥(a－c)．
(2)|a|＝
＝
＝ ≤ ＝＋1.
當sin(x＋)＝1，即x＝＋2kπ(k∈Z)時，|a|有最大值＋1.
12．解：(1)∵＝cbcos A，＝bacos C，
∴bccos A＝abcos C，
根據正弦定理，得sin Ccos A＝sin Acos C，
即sin Acos C－cos Asin C＝0，sin(A－C)＝0，
∴∠A＝∠C，即a＝c.
則△ABC為等腰三角形．
(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得
＝bccos A＝bc＝.
＝k＝2，即＝2，解得b＝2.
高考數學考點分類自測 平面向量的數量積及平面向量的應用 理
