《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》習(xí)題2及解答

第二章誤差的基本性質(zhì)與處理 習(xí)題及參考答案 2-1.試分別求出服從正態(tài)分布.反正弦分布.均勻分布誤差落在［―忑廠VJe］屮的概率。 【解】（1）誤差服從正態(tài)分布時(shí) 引入新變量廠 2%, 5 = 16經(jīng)變換上式成為: e^dt = 2 ①⑴=2 ①(VI) =2x 0.4195 = 0.84 = 84% （2） i5J差服從反正弦分布時(shí) 因反正弦分布的標(biāo)準(zhǔn)差為：o = 7忑'所以區(qū)間［-72<?1 = ［-。，a ］,故 P(±V2ct)=丄『(]=d§ = 1 （3）謀差服從均勻分布時(shí) 因其標(biāo)準(zhǔn)差為: 所以區(qū)間［-逅廠 屁]= [. 爭(zhēng)］,故 F仕屁)=哎導(dǎo)5 =護(hù)2 x甘= 0.82 = 82% 22測(cè)鼠某物體幣帰共8次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為g）為236.45, 236.37, 236.51, 236.34, 236.39, 236.48, 236.47, 236.40,求其算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差. 【解】①選參考值X。=236.00,計(jì)算差值心嚴(yán)兀-236.00、施。和殘差△匕等列J：表中。 序號(hào) Xi Ax； r 1 236. 45 0. 45 +0. 02 0. 0004 2 236. 37 0. 37 -o. 06 0. 0036 3 236.51 0. 51 +0. 08 0. 0064 4 236. 34 0. 31 -0. 09 0. 0081 5 236. 39 0. 39 -0. 04 0. 0016 6 236. 48 0. 48 +0. 05 0. 0025 7 236. 47 0. 17 +0. 04 0. 0016 8 236. 40 0. 10 -o. 03 0. 0009 x = x0 + Axo = 236.43 一 1 9 Aa*o ■-才 Aa； ■ 0.43 8 t.i -0.03 <?1 ±"■0.0251 1 或依算術(shù)平均值計(jì)算公式，n-8.直接求得: ②it算標(biāo)準(zhǔn)差：用貝塞爾公式計(jì)算: /-1 2 # 23用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計(jì)算習(xí)題2?2的標(biāo)準(zhǔn)差,并比較之。 【解】（1）用別捷爾斯法計(jì)算 a = 1.253x^= 0 41 (g) 8x7 = 1.253x-1^ = 0.0687 （2）用極差法計(jì)算 8個(gè)測(cè)最數(shù)據(jù)的極差為：3尸九心_.丫十=x3 -x4 =236.51-23634=0.17, 査教材P18表24 n=8時(shí)d n=2.85 a = -^ = —= 0.0596 (g) dn 2.85 (3)最大誤差法計(jì)算 8個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的最大殘差為: 也 =|v4| =0.09 査教材P19 表 2?5, n=8 時(shí)，l/K\=0.61 kz I a = = 0.09x0.61 = 0.0549 ( g ) 24測(cè)量某電路電流共5次,測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mA）為168.41, 168.54, 168.59, 168.40, 168.50,試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和'卜均謀差。 【解】①選參考值x0= 168.5,計(jì)算差值乂=兀-168.5、應(yīng)。和殘差齊等列丁表中。 序號(hào) Xi Ax, 萬(wàn) 1 168.41 -0? 09 -0? 078 0. 006084 2 168. 54 0. 04 +0. 052 0. 002701 3 168. 59 0. 09 +0. 102 0. 010401 4 168. 10 -0. 10 -0. 088 0. 007744 L 5 168. 50 0 +0. 012 0. 000144 x = xQ + Axo =168.488 _ 1 : A.Vo =—才 Aa： = —0.012 5 /-1 <?1 = 0.02708 i-i 或依t?術(shù)、1‘?均值計(jì)篦公式，n=5,直接求得：［=丄± 丫 = 168.488 （mA） ②計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：用貝塞爾公式計(jì)算：＜7 = 獸=唇訕23幽） EM 1-1 ［若用別捷爾斯法計(jì)算:a = 1.253x 產(chǎn)，’‘ = 1.253x 0332 = 0.0930〕 JMh-1) >/5x4 ［用極差法計(jì)算：n=5 時(shí)d$2.33, _ 168.59-168.40 _ 0.19 233 2.33 =00815(mA)］ 卜而是以貝塞爾公式計(jì)算的或然謀差和平均誤差數(shù)據(jù): 或然誤差：p^-a = -x0.0823 = 0.0549 (mA); 3 3 平均謀差：0^ia = -x0.0823 = 0.06584 (mA) 5 5 算術(shù)丫均值的標(biāo)準(zhǔn)差6 算術(shù)平均值或然誤羞R： <7 0.0823 — (J- = -^= = ―— = 0.037 a- =-x0.037 = 0.0247 3 x 3 (mA) 算術(shù)平均值平均誤差T： = -X 0.037 = 0.0296 5 x 5 (mA) 3 # 2-5.在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)鼠具，重復(fù)測(cè)暈5次,測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mm）為20.0015, 20.0016, 20.0018, 20.0015, 20.001 U若測(cè)最值服從正態(tài)分布,試以99%的置信概率確 定測(cè)最結(jié)果。 【解】①求算術(shù)平均值X： j 】00雪= 20.0015 (mm) 5 # # ② 求殘余謀差：各次測(cè)啟的殘余謀基依次為0, 0.000b 0.0003, 0, -0.0004o ③ 求測(cè)最列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 11-1 用貝塞爾公式計(jì)算：＜T /=! # # 用別捷爾斯公式計(jì)算：b 工Ml 0 0008 =L253 = L253 = 0.000224 (nim) 5x4 Jg _ 1) ④ 求算術(shù)半均值的標(biāo)準(zhǔn)差 -=0^00255 =0000114; ^.=^= 0.000224 = Q00()1 4n V5 x 4n V5 ⑤ 求單?次測(cè)吊的極限i吳并和篦術(shù)平均侑的極限謀養(yǎng) 因假設(shè)測(cè)吊血服從1E態(tài)分布，并II置信概率P=2e⑴=99%,則6（X0.495,查附錄 表1正態(tài)分布積分表，得置信系數(shù)t=2.6o故： 單次測(cè)的極限誤差： Jhm.v = ±/cr = 2.6x 0.000255 = 0.000663孝 0.00066 算術(shù)¥均值的極限誤差：= ±ta7 = 2.6x 0.000114 = 0.00029640.0003 ⑥ 求得測(cè)就結(jié)來(lái)為：x±Jr - = 20.0015±0 0003 (mm) lim r 26對(duì)某工件進(jìn)行5次測(cè)量,在排除系統(tǒng)誤差的條件下,求得標(biāo)準(zhǔn)差c -0.005mm,若要求測(cè) 鼠結(jié)果的置依概率為95%,試求眞置信限。 【解】因測(cè)駅次數(shù)11=5,次數(shù)比較少，按t分布求置信限（極限謀差）。 已知:P=95%,故顯著度 a=l-p=0.05： Iftj 自由度 v=n-l=5-l=4o 根據(jù)顯著度□ =0.05和自由度v査附錄表3的t分度表,得置信系數(shù)22.78。 所以算術(shù)平均值的宣信限為: = ±2.78x 0.005 =±0.00622 (mm) 5 # 2-7.用某儀器測(cè)量工件尺寸,在排除系統(tǒng)誤差的條件匚其標(biāo)準(zhǔn)o -0.004mm,若要求測(cè)量 結(jié)果的豐信限為土0.005mm，當(dāng)置信概率為99%時(shí)，試求必耍的測(cè)彊次數(shù)。 【解】①若測(cè)彊謀差符合止態(tài)分布規(guī)律 已知置信概率:P=99%■杳1E態(tài)分布表｛]: t=2?6. 則宣信限為: 瓦丿=±/><-^ = ±2?6>< V/? 0 004 ^7—=±0.005 (給定值) 求得：n-4.32>取n?5? ② 卄測(cè)磺謀差符介t分布 已知置信概率：P=99%,則顯著度a =0.01, 由置信限：= ±ta x < ±0.005 冇關(guān)系：匚§ 1.25亦=1.25水 + 1 當(dāng)顯著度a =0.01時(shí).—7.査t分度表，冇/產(chǎn)3.5O.滿足上述等式。 即求得：n-v+1=8為必耍的測(cè)航次數(shù)。 2-8.用某儀器測(cè)彊丁件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差。7.001mm,若耍求測(cè)彊的允許極限謀差 為±0.0015mm,而置信概率P為0.95時(shí)，應(yīng)測(cè)彊多少次。 【解】本題與2?7相似。 ① 若測(cè)屋誤差符合止態(tài)分布規(guī)律 己知置信概率：P=0.95,査正態(tài)分布表有：t=1.96» 則極限謀差為：= ±/ x -^ = ± 1.96X 2^21 =±0.0015 （給泄值） Jn yjn ② 若測(cè)帚誤差符介t分布 已知置信概率：P-0.95,則顯著度a -0.05, 由極限誤差：爲(wèi)= ±0.0015 有關(guān)系：厶<1.5侖=1.5jm y/n 當(dāng)顯著度a -0.05時(shí)，v-3,査t分度表，/t-3.18>1.5Vv+T = 3 (不合耍求) v=4,査I分度表，/“=2.78 <1.5而匚1 = 3.354 (滿足要求) 即求得：n= V +1=44-1=5為必耍的測(cè)磺次數(shù)。 2-9.已知某儀器測(cè)帚的標(biāo)準(zhǔn)差為0.5 ①若在該儀器上，對(duì)某一軸徑測(cè)彊-次，測(cè)得值為 26.2025mm,試寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果。②若重復(fù)測(cè)量10次，測(cè)得值(單位為mm)為26.2025, 26.2028, 26.2028, 20.2025, 26.2026, 26.2022, 20.2023, 26.2025, 26.2026, 26.2022> 試寫(xiě)出測(cè)屆結(jié)果。③若手頭無(wú)該儀器測(cè)駅的標(biāo)準(zhǔn)差值的資料，試由②中10次咆復(fù)測(cè)炭的 測(cè)航值，寫(xiě)出上述①、②的測(cè)就結(jié)呆。 【解】① 單次測(cè)鼠的極限決差以3。計(jì)算，6 ^k-3 O =3 X 0.5=1.5( u m)=0.0015 (inm) 所以測(cè)最結(jié)果可我示為：26.2025±0.0015 (mm) ② 重復(fù)測(cè)G 10次，計(jì)算其算術(shù)平均值為：x = 26.2025(mni). 収與①相同的置信度，則測(cè)啟結(jié)來(lái)為：26.2025±3 o - 26.2025 ±0.0015 (min). ③ 若無(wú)該儀器測(cè)彊的標(biāo)準(zhǔn)基資料，則依10次巫復(fù)測(cè)股數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和衣示測(cè)吊結(jié) 果。選參考值耳= 26202,計(jì)算差值N =片-26?202、Axo和殘差匕等列J：表中。 序號(hào) Xi Ax; 1 26.2025 0. 0005 0 0 2 26.2028 0. 0008 +0. 0003 9X10"5 3 26.2028 0. 0008 +0. 0003 9X10 s 4 20.2025 0. 0005 0 0 5 26.2026 0. 0006 +0. 0001 1 X 10"s 6 26.2022 0. 0002 -0. 0003 9X10 s 7 20.2023 0. 0003 -0. 0002 4 X IO"® 8 26.2025 0. 0005 0 0 9 26.2026 0. 0006 +0.0001 1 x 10'8 10 26.2022 0. 0002 -0. 0003 9 X IO-' x = x0+ Axo = 26.2025 _ j 10 A.vo ■ —X Av - 0.0005 10勺 10 -° i.l 10 42x107 用貝塞爾公式計(jì)算：b= =J4； 叮 =0.00022(mm). 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：cr-=-^= °°讐 =0.00007 (mm). x Vn V10 取與①相同的置信度，則測(cè)就結(jié)果為：26.2025±3a- =26.2025±0.00021 (mm). 此時(shí)①的測(cè)量結(jié)果為26.2025±0.00021 (mm)；②的測(cè)量結(jié)果為26.2025±0.00021 (mm). (mm) * 或以?xún)山M不等持度測(cè)吊睞表示測(cè)斎結(jié)杲：(以卜計(jì)算需要該儀器測(cè)応的標(biāo)準(zhǔn)斧資料) 兩組測(cè)帚的權(quán)之比為：Pl: p2 = —: —= r: r = 49 : 2500 G- (0.0005)- (0.00007)2 m _ 加權(quán)算術(shù)平均值為：I m i-l 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為: _ 49 x 26.2025 + 2500 x 26.2025 十池巧(呦) 49 + 2500 8 # 故①、②測(cè)吊「的測(cè)斎結(jié)果表達(dá)為：26.2025±3b； =26.2025±0.00021 (mm) 2-10.某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)(單位為Pa)為102523.85,102391.30,102257.97,102124.65, 101991.33, 101858.0b 101724.69. 101591.36,其權(quán)各為 b 3> 5, 7, 8, 6. 4. 2,試 求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差. 【解】宙計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差的公式玄接計(jì)算。 m nt «=1 加權(quán)算術(shù)平均值為： 1+3+5+7+8+6+4+2 1X 102523.85 + 3x 10239130 + 5x 102257.97 + 7x 102124.65 8x101991.33 + 6x10185&01 +4x101724.69 +2x101591.36 1+3+5+7+8+6+4+2 3673020.33 36 =102028.3425 a 10202834 (PJ # # v4 = 96.31 vs = -436.98 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)左的計(jì)算,先求各測(cè)尿結(jié)果的殘余謀>；.： 比=495.51, 冬=362.96, £ = 229.63, 叫=—37.01, v6 =-170.33, 耳=-303.65, 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為: ?: 2 p.p; = 1X 495.51： + 3 X 362.96： + 5 X 229.63’ + 7 x 96.31： + 8 x (-37.01)' + 6x(-170.33)- + 4x(-303.65)： + 2x(-436.98)' ■ 1905077.147 /1905077.147 } (8-l)x36 =8695 (Pa) 10 # 2?11?測(cè)量某角度共兩次，測(cè)得值為5?24°836”宀?24° 8243其標(biāo)準(zhǔn)差分別為。嚴(yán)3?1 。2-13.8°,試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 【解】已知各組測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差,可確定各組的權(quán)。 19044 = 19044:961 1 _ 1 . 1 _ 1 ^7 = TF 13.82 = 9^61 取：pl = 19044. p2 = 961 選取a0=24c1336\可由公式直接計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差: m a = ao + 孚"=24。13 36 + 19044 x 0 + 961x(-12 ) = 2們3 35.4“ 匕 19044 + 961 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,先求兩測(cè)彊結(jié)果的殘余謀兒 匕=-11.4 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)屋為: (2-1)x(19044 + 961) 19044 x0.6:+961x(-11.4/ “ =0.0 # # a 甲：7° 2’ 20", a 乙：7° 2' 25”, 【解】①對(duì)于每一組的測(cè)量, 是等精度測(cè)磧，分別先求各組的算術(shù)平均值。 2-12.甲.乙兩測(cè)試者用正眩尺對(duì)一錐體的錐角a個(gè)各重復(fù)測(cè)量5次,測(cè)得值如下: 7° 3’ 03 7° 2’ 35”, 7° 29 20”，7° 29 15", 7° 2’ 25”，7° 29 20”, 7° 2' 50”, 7° 29 45”； 試求氏測(cè)彊結(jié)果。 # # 云甲=&。+ 少’"=V2' + 20 +60 +35 +20 +15 = 7«23()- # 5 _ 工(％ 7。) a 乙=aQ + — n 25"+ 25"+ 20"+ 50"+ 45" 5 =7*233 用貝塞爾公式計(jì)算齊組的標(biāo)準(zhǔn)差: (20 — 30)' +(60 — 30)' +(35—30)' +(20 — 30)' +(15 — 30尸 5^4 =1 &4” 1-1 (25-刖+(25-30)'+(20-30)»50-詼+(45-30)'=⑷ 5-1 11 # 兩測(cè)fit列的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差: ②確泄各組的權(quán) 1 戸：幾=一 為碁海:6722:67 # # ③ 求加權(quán)算術(shù)平均值 m _ _ _ -％) a = aQ + ㈡ =7°2* + nt <«1 40冊(cè)+67x33”)= ”32” 40 + 67 # # ④ 求加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 或: ⑤測(cè)彊結(jié)果: a±3^ =7°232"±15 X # # 2」3?試證明n個(gè)相等粘度測(cè)得值的平均值的權(quán)為11乘以任一個(gè)測(cè)彊值的權(quán)。 【證明】?jī)?nèi)為等粘度測(cè)彊，可設(shè)n個(gè)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差均為o , 11其算術(shù)'卜均值的標(biāo)準(zhǔn)差為: # 又設(shè)各測(cè)量值的權(quán)相等,即：p嚴(yán)…=pj=??? = p* a個(gè)相等精度測(cè)得值的平均值的權(quán) 為心，貝|J： n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均値的權(quán)人與各測(cè)得值的權(quán)幾(尸12…n)的比為 p- = npt，證畢. 12 # 2-14. 1力加速度的20次測(cè)量具有平均值為9.811m/s\標(biāo)準(zhǔn)差為0.014 mH。另外30次測(cè)最具 冇平均值9.802m/s\標(biāo)準(zhǔn)差為0.022 m/s\假設(shè)這兩組測(cè)鼠屬「同一正態(tài)總體。試求此 50次測(cè)量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 【解】己知20次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差巧=0.014 (m/s)30次測(cè)鼠的標(biāo)準(zhǔn)差6 = 0.022 (m/s2), 由此可確定直權(quán)的大小? 1 _ 1 ^7 - 0.0147 0.0222 _ 196 # # 然后再按不箱度測(cè)量有關(guān)公式直接計(jì)算。 50次測(cè)量的加權(quán)算術(shù)平均值: HI 工p,i nt 1=1 121x9.811 + 49x9.802 121 + 49 =9.8084 (ni/s2) # # 50次測(cè)量的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差: 或: # # 2-15.對(duì)某量進(jìn)行 10 次測(cè)最.測(cè)得數(shù)據(jù)為 14.7, 15.0, 15.2, 14.8, 15.5, 14.6, 14.9> 14.8, 15.1, 15.0,試判斷該測(cè)錄列屮是否存在系統(tǒng)謀差。 【解】先計(jì)算算術(shù)平均值: 14.96。各測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為: = -0.26 v2 = 0.04 v3 = 0.24 v4 = -0.16 v5 = 0.54 = —0.36 v1 = —0.06 v8 = —0.16 v9 = 0.14 vl0 = 0.04 ① 根據(jù)殘余課差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差符號(hào)正負(fù)個(gè)數(shù)相同，H無(wú)顯箸變化規(guī)律，I大I 此可判斷該測(cè)鼠列無(wú)變化的系統(tǒng)誤總存在。 采用不同公式計(jì)篦標(biāo)準(zhǔn)并比較法。 # 按貝塞爾公式： 用別捷爾斯法計(jì)算: 令： 巧= 1-1 2^1 = 0.263 /I-1 V10-1 Zhl 『 -1.253 x? 2 1.253x JW-1) >/10x9 0.264 0.263 = 1.004 = 1 + 0.004 = 1 + U =0.264 =0.667 »|//| = 0.004 ? 因?yàn)? 2 -7/1 -1 2 7io-i 故無(wú)根據(jù)懷疑測(cè)吊「列存在系統(tǒng)誤差. ③ 按殘余謀差校核法：前5個(gè)歿余謀差和與后5個(gè)殘余謀羞的差 △ = D廠 /-I 10 -v ; = 0.4 - (—0.4) = 0.8 丿?6 兩部分之差顯著不為0,則冇理由認(rèn)為測(cè)吊:列中含冇系統(tǒng)謀差. （為什么會(huì)得出互為矛厲的結(jié)論？問(wèn)題出在木題給出的數(shù)據(jù)存在粗人謀差…?這就提醒 我們?cè)谂袛嗍欠褙晗到y(tǒng)謀羞前，應(yīng)先剔除粗人謀差,然后再進(jìn)彳j系統(tǒng)謀簽判斷。） 2J6?対-?線圈電感測(cè)吊10次，前4次是和-個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后6次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如卜?（單位為niH）： 50.82, 50.83, 50.87, 50.89： 50.78, 50.78, 50.75. 50.85. 50.82? 50.81。 試判斷前4次與后6次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差? 【解法一】用t檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn) 前4次測(cè)乗的算術(shù)平均値: 汗6次測(cè)磺的算術(shù)平均佻 _ 1 % = -7% = 50.8525 4厶 y = - D = 5(17983 6 1— - 1 - 1 - S; =-^(x.-x)2 =0.00082； S; =-^(y.-y)2 =0.00105 4 x 6(4 + 6-2) 1 =(5°'8525 ~ 50798) J (4 + 6)(4 x 0.00082 + 6 x 0.00105) = 1M 由v «4+6-2-8及取a -0.05,査t分布表,得t產(chǎn)2.31。 M|r| = 2.44>ru =2.31,可判斷兩組數(shù)據(jù)可能存在系 【解法二】用秩和檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。將兩組數(shù)據(jù)按從小到人混合排列成卜?表: T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xi 50.82 50.83 50.87 50.89 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 50.85 已知：m=4, n:=6；計(jì)算秩和T： T=5?5+7+9+10=31?5,査表：T=14, K=30： 因：T=31?5>T.=30?可判斷兩紐數(shù)據(jù)町能乍右系統(tǒng)誤推。 【解法三】用計(jì)算數(shù)據(jù)比較法檢驗(yàn)。兩組數(shù)據(jù)的算術(shù)半均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為: 第一組數(shù)據(jù): x = 50.8525 =0.033 15 # 殆一—sn 7OQ2 _ |工"/ 162.8334x 10 4 n 第一組數(shù)據(jù)： y = — V y = 50.7983 ； 6 = J = J = 0.035 6 厶 -V n-l V 6-1 pi： r,:以極差法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算結(jié)果也和近： 50.89-50.82 = 0()34； = = 50.85 - 50.75 = QQ4 1 dn 2.06 - d” 2.53 兩組數(shù)據(jù)算術(shù)平均值之差為:A = x-y = 50.8525-50.7983 = 0.0542 其標(biāo)準(zhǔn)差為:<7 = g +cr； = V0.0332 + 0.035? = 0.0481 M： △ = 0.0542 <2荷 + / = 0.0962 ,故兩組數(shù)據(jù)間無(wú)系統(tǒng)誤差。 （以上計(jì)算，本人經(jīng)過(guò)多次推導(dǎo)，應(yīng)該無(wú)謀！解法三得出了與前兩種方法互為才盾的結(jié) 論，原因何在？請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)分析。） （本人分析原因如卜：①所給兩組數(shù)據(jù)包含的誤差并不是服從正態(tài)分布，因此不能用t 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)；②解法三在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，因測(cè)杲次數(shù)少，用貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差誤差人； 極差法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差也是耍求測(cè)員誤差服從正態(tài)分布；③解法二適介作正態(tài)分布的謀差，得出 的結(jié)論正確：④以上幾種系統(tǒng)誤差的判別法J1?仃一定的適應(yīng)范I乩仃局限性。） 2-17.等精度測(cè)得某一電壓10次,測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.94, 25.97, 25.98, 26.01, 26.04, 26.02, 26.04, 25.98, 25.96, 26.07。測(cè)量完畢后,發(fā)現(xiàn)測(cè)量裝置有接觸松動(dòng)現(xiàn)象,為判 明是否因接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，乂晅新做了 10次等粘度測(cè)彊，測(cè)得 結(jié)果（單位為 V）為 25.93, 25.94. 25.98, 26,02. 26.0E 25.90, 25.93, 26.04, 25.94, 26.02。試用I檢驗(yàn)法（取□ =0.05）判斷兩組測(cè)吊:值之間是否冇系統(tǒng)誤差。 【解］計(jì)算兩組測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值: X = x = 26.001 1 _ S；=憶工a 7)—0 00155 1 _ 0.00215 10x10(10 + 10-2) -(26 001 - 25'971\(10 +10)(1 Ox0.00155 + 10x0.00215) = 1.48 由 v =10+10-2=18 及取 a -0.05,査t分布農(nóng).得t a=2.1 o r =1.48 <ra= 2.1,故無(wú)根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間存在線性系統(tǒng)謀羞。 2-18.對(duì)某最進(jìn)行了 12 次測(cè)甌 測(cè)得數(shù)據(jù)為 20.061 20.07, 20.06, 20.08. 20.10, 20.12, 20.1b 20.14, 20.18, 20.18, 20.2b 20.19,試用兩種方法判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。 【解】先計(jì)算算術(shù)平均值:二20.125。各測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余謀差分別為: 比=一0.065 vz = 一0.055 v3 = -0.065 v4 = -0.045 v5 = 一0.025 v6 = -0.005 v7 = -0.015 vs = 0.015 v9 = 0.055 v10 = 0.055 vn = 0.085 vl: = 0.065 ① 根據(jù)殘余誤差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差令規(guī)律地遞増.在測(cè)最開(kāi)始與結(jié)束時(shí)誤差符 號(hào)相反，故可判斷該測(cè)吊洌存在線性系統(tǒng)誤差。 ② 按殘余謀差校核法：前6個(gè)殘余謀差和與后6個(gè)殘余誤差的差值△為 6 12 v - ^v} =-0.26-0.26 = -0.52 /?I >7 兩部分Z差顯箸不為o,則仃理由認(rèn)為測(cè)彊列中含仃線性系統(tǒng)誤差。 ③ 采用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。 按貝塞爾公式： 用別捷爾斯法計(jì)算: 令： £1=±^ = L11 = 1+o.ii = i+m 6 0.054 因?yàn)椋?^2—= 2 =0?603>M = 0?ll，故無(wú)根據(jù)懷疑測(cè)錄列存在系統(tǒng)謀差。 V12-1 （又出現(xiàn)互為孑盾的結(jié)論，如何解釋呢？） 2J9?對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下: Xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 yf 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 試用秩和檢臉?lè)ㄅ袛鄡山M測(cè)帚值Z間是否仃系統(tǒng)謀差。 【解】將兩組數(shù)據(jù)按從小到人混介排列成卜農(nóng)： T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 130 V/ 0.99 1.12 1.21 1.25 T 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Xi 1.34 139 1.41 1.57 X 131 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 C知山=11產(chǎn)15?內(nèi)“組數(shù)據(jù)的秩和較小，故以其數(shù)據(jù)的次序計(jì)算秩和: T= 1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21 ? 5+2 5T 74 16 Wn1=n2=15>10»秩和T近似服從iE態(tài)分布。 /».(«. +心 +1) N(a, a)=N ] i £ ?~- # # 其中數(shù)學(xué)期望d和標(biāo)準(zhǔn)差。分別為： 小+—(15 + 15 + 1) J2.5, °二J叫叫何十心十匚丿⑴15(15 +15 +匚］ 1 2 2 V 12 V 12 則置信系數(shù)f 為： / = IZ£= 174-232.5 = _2 43 a 24.11 選取置信概率99% (顯著度0.01 )?即取①(0 = 0.495 >由附錄表1査得：ta = 2.60 ? W|/| = 2.43 </a =2.60,故無(wú)根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間右?系統(tǒng)謀差。 2-20.對(duì)某量進(jìn)行 15 次測(cè)量,測(cè)得數(shù)據(jù)為 2&53, 28.52. 28.50, 29.52, 28.53, 2&53, 28.50, 28.49, 28.49, 28.51, 28.53, 28.52, 28.49, 28.40, 28.50,若這些測(cè)得值已消除系統(tǒng)謀差, 試用萊以特準(zhǔn)則、格羅布斯準(zhǔn)則和狄克松準(zhǔn)則分別判別該測(cè)晟列屮是否含勺粗人誤差的測(cè) 【解】將有關(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)：平均值、殘差氣?等列F表中: 序號(hào) Xi 嶺 百 ■ 匕 V： 1 1 28. 53 -0. 04 0.0016 0. 03 0. 0009 2 28. 52 -0? 05 0. 0025 0. 02 0. 0004 3 28. 50 -0. 07 0. 0049 0 0 4 29. 52 0. 95 0. 9025 5 28. 53 -0. 04 0. 0016 0. 03 0. 0009 6 28. 53 -0. 04 0. 0016 0. 03 0. 0009 7 28. 50 -0? 07 0. 0049 0 0 8 28. 49 -0. 08 0. 0064 -0.01 0. 0001 9 28. 49 -0. 08 0. 0061 -0.01 0. 0001 10 28.51 -0. 06 0.0036 0.01 0. 0001 11 2& 53 -0. 04 0.0016 0. 03 0. 0009 12 2& 52 -0? 05 0. 0025 0. 02 0. 0004 13 28. 49 -o. 0S 0. 0064 -0.01 0. 0001 14 28. 40 -0. 17 0. 0289 -0. 1 0.01 15 28. 50 -0. 07 0. 0049 0 0 x = 28.57 15 & = 0.01 1-1 IS 刀必= 0.9803 !-1 14 & =0.04 1-1 8 = 0.0148 r«l 直接求得15個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差: ① 用萊以特準(zhǔn)則判別粗人謀差 因|v41 = 0.95 >30-= 0.795,故第4個(gè)測(cè)吊數(shù)據(jù)倉(cāng)測(cè)鼠謀差，應(yīng)當(dāng)剔除。 再對(duì)剩余的14個(gè)測(cè)得值朿新計(jì)駅 得: —〉'X- = 2&50, 14 fr 0.0337 18 # 3cr =3x0.0337 = 0.1011, 由表知第14個(gè)測(cè)得值的殘余誤差：=0.17>3<t = 0.1011,故也含粗人誤差，應(yīng)剔除。 再咆復(fù)驗(yàn)算，剩卜的13個(gè)測(cè)得值已不包含粗人誤差。 ② 用格羅布斯準(zhǔn)則判別 已經(jīng)計(jì)算出15個(gè)測(cè)最數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征鳳x = 28.57 , ” = 0?265。 將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到人的順序排列，令: X —x ⑴=28.57 — 2&4 = 0.17 Xu5>-X = 29.52 - 2&57 = 0.95 首先判別“⑸是否禽旳粗人誤差: 29.52-28.57 0.265 # # 査表2J3得: 28.50-28.40 = 2.94 0.034 g°(15, 0.05) = 2.41 則： gu5>= 3.585 > ^(15, 0.05) = 2.41 故第4個(gè)測(cè)得數(shù)據(jù)包含粗人謀差，應(yīng)當(dāng)剔除。 再対剩卜的14個(gè)測(cè)得值計(jì)算，判斷x山是否含冇粗人誤差。已知：d=28?50_ a -0.034 # # 査表2?13得: 則： x{l) = 28.40, x(2) = x⑶=28.49, , =2&53, x(l5) = 29.52 go(14. 0.05) = 2.37 ^=2.94>g0(l< 0.05) = 2.37 故第14個(gè)測(cè)得數(shù)據(jù)也包含粗人誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。 再巫復(fù)檢驗(yàn)，其它各測(cè)得值C不再包含粗人謀雄。 ③ 用狄克松準(zhǔn)則判別 將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,有: # # 判斷最小值和與最大值“⑸是否包含粗人誤差o W n=15,以統(tǒng)計(jì)杲心和山計(jì)算 29.52-28.49 28.40- 28.49 28.40- 28.53 =0.692 19 査表 2」4 得心(15, 0.05) = 0.525,因:r22 =1.04＞r0(15, 0.05)和也=0.692＞心(15, 0.05) 故：X⑴和％⑸(即所測(cè)的第4和第14個(gè)測(cè)鼠值)包含粗人謀差，應(yīng)予剔除。 再帀:復(fù)檢驗(yàn)剩余的13個(gè)測(cè)得值.已不再包禽粗人誤差? 2-21 ?対某一個(gè)電阻進(jìn)行200次測(cè)氐測(cè)得結(jié)果列農(nóng)如卜?: 測(cè)得電陽(yáng)值RQ 1220 1219 1218 1217 1216 1215 1214 1213 1212 1211 1210 該電阻值岀現(xiàn)次數(shù) 1 3 8 21 43 54 40 19 9 1 1 ① 繪出測(cè)啟結(jié)果的統(tǒng)計(jì)玄方圖，由此可得到什么結(jié)論? ② 求測(cè)帚結(jié)果并寫(xiě)出表達(dá)式。 ③ 寫(xiě)出測(cè)彊謀差概率分布密度西數(shù)式。 【解】①測(cè)彊結(jié)果的統(tǒng)計(jì)直方圖如卜?。由此可看出電陌值的阻值偏差基本符合正態(tài)分仏 o o 6 5 HI現(xiàn)次數(shù) 40 30 測(cè)fit結(jié)果的統(tǒng)計(jì)貢方圖 1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 測(cè)得電陽(yáng)值 20 # ②可以把200次等精度測(cè)帚看作11組不等精度的測(cè)鼠(毎紐測(cè)吊次數(shù)不同)。根據(jù)測(cè)最次數(shù)確 定各組的權(quán)，冇： 戸=1, p2 =3,幾=& /?4 =21. p5 = 43, p6 = 54.幾=40? p8 =19, p9 =9, piQ = pn =1 £＞產(chǎn)200 選取電阻參考值7?0=1215»求加權(quán)算術(shù)平均值: 1-1 _ Rd) R=%+ —— = 1215+ = 121506 1 x5+3x4+8x3+21x2+43x1+54x0+40x(-l)+19x(-2)+9x(-3)+1x(-4)+1x(-5) 200 求各組殘余謀差匕=Rj-氏 v, = 4.94, =3.94, v3 = 2.94, v4 =1.94, v5 =0?94 v6 = -0.06 # # v7 = -1.06, v8 = -2.06, v9 = -3.06. v10 = -4.06. vn = -5.06 # =0.0036 v/ = 24.4036. V/ = 15.5236, v/ = 8.6436, v/ = 3.7636, v/ = 0.8836, 叫 vf =1.1236. =4.2436, v/ =9.3636. a/ =16.4836. =25.6036 求加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差: 21 # m 50928 =0.5 (11-1)x200 # 則最后結(jié)果 求加權(quán)算術(shù)平均值的極限誤差：I大I該測(cè)帚某本服從止態(tài)分布，取胃信系數(shù)t = 3. 的極限誤差為： = ±3b- = ±3x 0.5 = ±1.5 寫(xiě)出最后測(cè)屜結(jié)采為：/? = /?±3o-- = 1215.06±1.5 (Q) X ] -呀? ② 測(cè)最誤差概率分布密度函數(shù)式為：由f{3) = — e /3),得: 小2兀 嘰 0.798/25% 22