浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專(zhuān)題訓(xùn)練：第3部分 專(zhuān)題一 第2講 保分題模板解每分都要保

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 如同前面所講，高考是選拔性的考試，送分題不會(huì)太多，保分題才是我們得分的主陣地．此類(lèi)問(wèn)題主要是指解答題，它們的特點(diǎn)是：對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)考查較多，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，使用的數(shù)學(xué)思想方法相對(duì)深入等．它們主要分六塊：三角函數(shù)(或與平面向量交匯)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(或與不等式交匯)、概率與統(tǒng)計(jì)、解析幾何(或與平面向量交匯)、立體幾何、數(shù)列(或與不等式交匯)．從歷年高考看這些題型的命制都呈現(xiàn)出顯著的特點(diǎn)和解題規(guī)律，從閱卷中發(fā)現(xiàn)考生“會(huì)而得不全分”的大有人在，

2、針對(duì)以上情況，我們總結(jié)出一套體現(xiàn)解數(shù)學(xué)解答題的一般思維過(guò)程、解題程序和答題格式的“答題模板”．這樣，在解決高考解答題時(shí)，就可以按照一定的解題程序和答題格式，在最短的時(shí)間內(nèi)擬定解決問(wèn)題的最佳方案，實(shí)現(xiàn)答題效率的最優(yōu)化． 模板一　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) [例1]　(20xx天津高考)(13分)已知函數(shù)f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． [解題流程] ?? [規(guī)范解答]　 (1)f(x)＝－sin＋6sin xcos x－

3、2cos 2x＋1， ＝－sin 2xcos －cos 2xsin＋3sin 2x－cos 2x ＝2sin 2x－2cos 2x ＝2sin， 4分 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 6分 (2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)， 9分 又f(0)＝－2，f＝2，f＝2， 11分 所以f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為－2. 13分 [解題模板] 第1步：三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，一般化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式 ↓ 如本例中f(x)化簡(jiǎn)為f(x)＝2s

4、in； 第2步：由T＝求最小正周期； 　↓ 第3步：確定f(x)的單調(diào)性； ↓ 第4步：確定各單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值； 　↓ 第5步：明確規(guī)范地寫(xiě)出答案． [反思領(lǐng)悟]　查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范，如本題中f(x)的解析式化簡(jiǎn)是否正確；f(x)在區(qū)間，上的單調(diào)性判斷是否準(zhǔn)確． 模板二　解 三 角 形 [例2]　(20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)(12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． [解題流程] ?? [規(guī)范解答] (1)由已知及正弦定理，得si

5、n A＝sin Bcos C＋sin Csin B，?、侏? 2分 又A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，?、讵?3分 由①②和C∈(0，π)，得sin B＝cos B，即tan B＝1. 5分 又B∈(0，π)，所以B＝. 6分 (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 7分 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos， 9分 又a2＋c2≥2ac，故ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立， 11分 所以△ABC面積的最大值為＋1.

6、 12分 [解題模板] 第1步：利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系或角之間的關(guān)系， ↓ 如本例利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系； 第2步：求待求角的某一三角函數(shù)值，如本例tan B＝1； 　↓ 第3步：指明角的范圍，并求角，如本例應(yīng)指明B∈(0，π)； 　↓ 第4步：利用面積公式表示所求三角形的面積或利用正弦定理表示邊角關(guān)系； ↓ 第5步：求得結(jié)論． [反思領(lǐng)悟]　查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范，如本題易忽視B∈(0，π)，直接得出B＝；要注意基本不等式成立的條件． 模板三　數(shù)列的通項(xiàng)與求和 [例3]　(20xx廣東高考)(14分)

7、設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列． (1)證明：a2＝； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. [解題流程] ?? [規(guī)范解答] (1)因?yàn)閍n＞0，令n＝1，有4S1＝a－4－1，即4a1＝a－5，所以a2＝.2分 (2)4Sn＝a－4n－1，當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，兩式相減得4an＝a－a－4， 4分 整理得a＝(an＋2)2，即an＋1＝an＋2. 所以{an}從第2項(xiàng)起，是公差為2的等差數(shù)列．

8、 6分 所以a5＝a2＋32＝a2＋6，a14＝a2＋122＝a2＋24，又a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，有a＝a2a14，則(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3. 8分 由(1)知a1＝1，又an＋1＝an＋2(n≥2)，所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即an＝1＋(n－1)2＝2n－1. 10分 (3)由(2)得＋＋…＋＝＋＋…＋＝－ ＝＜. 14分 [解題模板] 第1步：通過(guò)賦值求特殊項(xiàng)； ↓ 第2步：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)確定通項(xiàng)an，但要注意等式成立的條

9、件，同時(shí)要驗(yàn)證n＝1時(shí)，通項(xiàng)an是否成立(根據(jù)已知條件建立首項(xiàng)、公差或公比之間的關(guān)系求公差d或公比q，然后再求通項(xiàng)an也是常用方法)； ↓ 第3步：利用裂項(xiàng)相消法求＋＋…＋(此處也常用公式法、錯(cuò)位相減法等 求和)； ↓ 第4步：得出所求證的結(jié)論． [反思領(lǐng)悟]　查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范，如本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩處：①利用關(guān)系式an＝Sn－Sn－1(n≥2)錯(cuò)誤；②裂項(xiàng)相消時(shí)，搞錯(cuò)對(duì)應(yīng)關(guān)系及最后項(xiàng)的符號(hào)等． 模板四　立體幾何中位置關(guān)系的證明 [例4]　(20xx北京高考)(14分)如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥

10、AD，E和F分別為CD和PC的中點(diǎn)．求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. [解題流程] ?? [規(guī)范解答] (1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD. 2分 (2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED為平行四邊形． 所以BE∥AD. 5分 又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD， 6分 所以BE∥平面PAD. 7分 (3)因?yàn)锳B⊥

11、AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD， 9分 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 11分 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF. 所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF. 13分 因?yàn)镃D?平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD. 14分 [解題模板] 第1步：根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化； 　 ↓ 第2步：寫(xiě)出推證平行或垂直所需的條件，條件要充分； ↓ 第3步：寫(xiě)出所證明的結(jié)論． [反思領(lǐng)悟]　查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題

12、規(guī)范，如本題的易錯(cuò)點(diǎn)是證明線面平行時(shí)條件不充分． 模板五　利用空間向量求空間角 [例5]　(20xx唐山模擬)(12分)如圖，在四棱錐SABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD＝AD＝AB，E是SA的中點(diǎn)． (1)求證：平面BED⊥平面SAB； (2)求平面BED與平面SBC所成二面角(銳角)的大?。? [解題流程] 四棱錐SABCD，且SD⊥平面ABCD，ABCD為矩形，E為中點(diǎn) ?? [規(guī)范解答] (1)證明：∵SD⊥平面ABCD，SD?平面SAD， ∴平面SAD⊥平面ABCD. ∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD. 又∵DE?平面SAD，

13、∴DE⊥AB. ∵SD＝AD，E是SA的中點(diǎn)，∴DE⊥SA. ∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB. ∵DE?平面BED， ∴平面BED⊥平面SAB.4分 (2)由題意知SD，AD，DC兩兩垂直，以DA、DC、DS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，不妨設(shè)AD＝2，則D(0，0,0)，A(2,0,0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0,0,2)，E(1,0,1)． ∴＝(2，，0)，＝(1,0,1)，＝(2,0,0)，＝(0，－，2)．6分 設(shè)m＝(x1，y1，z1)是平面BED的法向量，則 即 令x1＝－1， 即y1＝，z1＝1

14、， ∴m＝(－1，，1)是平面BED的一個(gè)法向量．8分 設(shè)n＝(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量，則 即 解得x2＝0，令y2＝，則z2＝1， ∴n＝(0，，1)是平面SBC的一個(gè)法向量．10分 ∵cosm，n＝＝＝， ∴平面BED與平面SBC所成銳二面角的大小為30.12分 ,　　[解題模板] 第1步：作出(或找出)具有公共交點(diǎn)的三條相互垂直的直線； ↓ 第2步：建立空間直角坐標(biāo)系確定或設(shè)出特征點(diǎn)坐標(biāo)； ↓ 第3步：求二面角面的法向量n，m，或有關(guān)直線的方向向量； ↓ 第4步：求法向量n，m的夾角或cosm，n； ↓　 第5步：將法

15、向量的夾角轉(zhuǎn)化為二面角的夾角． [反思領(lǐng)悟]　查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．如本題易忽視“銳角”這一條件． 模板六　圓錐曲線中的存在性問(wèn)題 [例5]　(20xx成都模擬)(13分)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)以拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，與直線x＝－4相交于點(diǎn)Q，P是橢圓E上一點(diǎn)且滿足＝＋ (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，試問(wèn)在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． [解題流程] ?? [規(guī)范解答]　 (1)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為橢圓E

16、的頂點(diǎn)，即a＝2.又＝，故c＝1，b＝. ∴橢圓E的方程為＋＝1. 4分 (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 聯(lián)立 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝. 6分 將P代入橢圓E的方程，得＋＝1. 整理，得4m2＝4k2＋3. 8分 設(shè)T(t,0)，Q(－4，m－4k)， 則＝(－4－t，m－4k)，＝，即＝＋＝. ∵4k2＋3＝4m2，∴＝＝＋. 11分 要使為定值，只需2＝＝為定值，則1＋t＝0，∴t＝－1， ∴在x軸上

17、存在一點(diǎn)T(－1,0)，使得為定值. 13分 [解題模板] 第1步：假設(shè)點(diǎn)存在； ↓ 第2步：把假設(shè)作為條件進(jìn)行推理論證(此處常和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)，需聯(lián)立直線與圓錐曲線構(gòu)造方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解)； ↓ 第3步：明確規(guī)范地表述結(jié)論，若經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定假設(shè)正確；若推出矛盾，即否定假設(shè)． [反思領(lǐng)悟]　查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范，如本題中的運(yùn)算較復(fù)雜，易發(fā)生失誤；為定值的條件判斷是否正確等． 模板七　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 [例7]　(20xx天津高考)(13分)一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,2,3,4；白色卡

18、片3張，編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)． (1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率； (2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解題流程] ? ? [規(guī)范解答]　 (1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片”為事件A，則P(A)＝＝. 3分 所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為. 4分 (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. 5分 P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，

19、P(X＝4)＝＝. 9分 所以隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 11分 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1＋2＋3＋4＝. 13分 [解題模板] 第1步：確定離散型隨機(jī)變量的所有可能值； 　↓ 第2步：求出每個(gè)可能值的概率； 　↓ 第3步：列出隨機(jī)變量的分布列； 　 ↓ 第4步：求出數(shù)學(xué)期望或方差． [反思領(lǐng)悟]　查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范，如本題可重點(diǎn)查看隨機(jī)變量的所有可能值是否正確；可根據(jù)分布列性質(zhì)檢查概率是否正確． 模板八　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問(wèn)題

20、[例7]　(20xx日照模擬)(13分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋ln x，其中a∈R. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在(0,1]上的最大值是－1，求a的值． [解題流程] ? ? [規(guī)范解答]　 (1)f′(x)＝，x∈(0，＋∞)． 3分 當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)＞0，從而函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 4分 當(dāng)a＜0時(shí)，令f′(x)＝0，解得x＝ 或x＝－ (舍去)． 5分 此時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如下： x

21、 f′(x) ＋ 0 － f(x)  f  ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是. 7分 (2)①當(dāng)a≥0時(shí)，由(1)得函數(shù)f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝. 令＝－1，得a＝－2，這與a≥0矛盾，不合題意． 9分 ②當(dāng)－1≤a＜0時(shí)， ≥1，由(1)得函數(shù)f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝. 令＝－1，得a＝－2，這與－1≤a＜0矛盾，不合題意． 10分 ③當(dāng)a＜－1時(shí)，0＜ ＜1，由(1)得函數(shù)f(x)在(0,1]上的最大值為f.令f＝－1，解得a＝－e，符合a＜－1. 12分 綜上，當(dāng)f(x)

22、在(0,1]上的最大值是－1時(shí)，a＝－e. 13分 [解題模板] 第1步：確定函數(shù)的定義域，如本題函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)； ↓ 第2步：求f′(x)； ↓ 第3步：求方程f′(x)＝0的根； ↓ 第4步：利用f′(x)＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列出表格； ↓ 第5步：由f′(x)在小區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f(x)在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性； ↓ 第6步：求函數(shù)的極值或最值； ↓ 第7步：明確規(guī)范地表述結(jié)論． [反思領(lǐng)悟]　查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范，如本題第(1)問(wèn)易忽視定義域及對(duì)參數(shù)a的分類(lèi)討論；第(2)問(wèn)易

23、出現(xiàn)對(duì)a分類(lèi)不徹底而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． 模板九　不等式的恒成立問(wèn)題 [例8]　(20xx臨沂模擬)(13分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－ln x＋2，其中a∈R，x＞0. (1)若a＝2，求曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程； (2)是否存在負(fù)數(shù)a，使f(x)≤g(x)對(duì)一切正數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． [解題流程] ?? [規(guī)范解答]　 (1)由題意可知當(dāng)a＝2時(shí)，g(x)＝4x2－ln x＋2，則g′(x)＝8x－， 2分 曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線斜率k＝g′(1)＝7

24、，又g(1)＝6， ∴曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線的方程為y－6＝7(x－1)，即y＝7x－1. 5分 (2)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋ln x－a2x2(x＞0)． 假設(shè)存在負(fù)數(shù)a，使得f(x)≤g(x)對(duì)一切正數(shù)x都成立，即當(dāng)x＞0時(shí)，h(x)的最大值小于等于零． h′(x)＝a＋－2a2x＝(x＞0)． 令h′(x)＝0，可得x1＝－，x2＝(舍)． 8分 當(dāng)0＜x＜－時(shí)，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞－時(shí)，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減． ∴h(x)在x＝－處有極大值，也是最大值． 10分 ∴h(x)max＝h≤0，解得a≤－， ∴負(fù)數(shù)a存在，它的取值范圍為. 13分 [解題模板] 第1步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形如不等式f(x)≥a(或f(x)≤a)恒成立的問(wèn)題； ↓ 第2步：求函數(shù)f(x)的最大值f(x)max(或f(x)的最小值f(x)min)； ↓ 第3步：解不等式f(x)max≤a(或f(x)min≥a)； ↓ 第4步：明確規(guī)范地表述結(jié)論． [反思領(lǐng)悟]　查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范，如本題重點(diǎn)反思每一步轉(zhuǎn)化的目標(biāo)及合理性，最大值或最小值是否正確．