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1、
第6講 函數(shù)與方程
1．(2011年浙江)設函數(shù)f(x)＝若f(a)＝4，則實數(shù)a＝( )
A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2
2．由下表知f(x)＝g(x)有實數(shù)解的區(qū)間是( )
x
－1
0
1
2
3
f(x)
－0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
－0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
3．設函數(shù)f(x)＝x3－4x＋3＋
2、lnx(x>0)，則y＝f(x)( )
A．在區(qū)間，內均無零點
B．在區(qū)間，內均有零點
C．在區(qū)間內無零點，在區(qū)間內有零點
D．在區(qū)間內有零點，在區(qū)間內無零點
4．(2011年陜西)函數(shù)f(x)＝－cosx在[0，＋∞)內( )
A．沒有零點 B．有且僅有一個零點
C．有且僅有兩個零點 D．有無窮多個零點
5．若關于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1，x2滿足－1≤x1<0
3、
7．函數(shù)f(x)＝ln(x＋2)－的零點所在區(qū)間是(n，n＋1)，則正整數(shù)n＝____.
8．下面是用區(qū)間二分法求方程2sinx＋x－1＝0在[0,1]內的一個近似解(誤差不超過0.001)的算法框圖，如圖K3－6－1所示，則判斷框內空白處應填入____________，才能得到需要的解．
圖K3－6－1
9．已知關于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內，另一根在區(qū)間(1,2)內，求m的范圍；
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內，求m的范圍．
10．已知函數(shù)f(x)＝ex＋2x2－3
4、x.
(1)求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數(shù)取得極值時相應x的近似值(誤差不超過0.2)；
(2)當x≥1時，若關于x的不等式f(x)≥ax恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍(參考數(shù)據(jù)e≈2.7，≈1.6，e0.3≈1.3)．
第6講 函數(shù)與方程
1．B 2.B 3.B
4．B 解析：方法一：數(shù)形結合法，令f(x)＝－cosx＝0，則＝cosx，設函數(shù)y＝和y＝cosx，它們在[0，＋∞)的圖象如圖D40，顯然兩函數(shù)的圖象的交點有且只有一個，所以函數(shù)f(x)＝－cosx在[0，＋∞)內有且僅有一個零點．
圖D40
5、
方法二：在x∈上，>1，cosx≤1，所以f(x)＝－cosx>0.在x∈，f′(x)＝＋sinx>0，所以函數(shù)f(x)＝－cosx是增函數(shù)，又因為f(0)＝－1，f＝>0，所以f(x)＝－cosx在x∈上有且只有一個零點．
5．B 6.3或4 7.1 8.f(a)f(x0)<0
9．解：(1)依題意，拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內，畫出示意圖，如圖D41，得
圖D41
?
∴－
6、間(0,1)內]
10．解：(1)f′(x)＝ex＋4x－3，
∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，
∴f′(0)f′(1)<0.
令h(x)＝f′(x)＝ex＋4x－3，則h′(x)＝ex＋4>0，
∴f′(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增．
∴f′(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一零點．
∴f(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極小值點．
取區(qū)間[0,1]作為起始區(qū)間，用二分法逐次計算如下：
①∵f′(0.5)≈0.6>0，f′(0)<0，
∴極值點所在區(qū)間是[0,0.5]．
②又f′(0.3)≈－0.5<0，∴極值點所在區(qū)間是[0.3,0.5]．
③∵|0.5－0.3|＝0.2，
∴區(qū)間[0.3,0.5]內任意一點即為所求．
(2)由f(x)≥ax，得ax≤ex＋2x2－3x.
∵x≥1，∴a≤.
令g(x)＝，則g′(x)＝.
∵x≥1，∴g′(x)>0.∴g(x)在[1，＋∞)上單調遞增．
∴gmin(x)＝g(1)＝e－1，
∴a的取值范圍是a≤e－1.
4
用心 愛心 專心
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