《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第八章 ：第六節(jié)雙曲線突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第八章 ：第六節(jié)雙曲線突破熱點(diǎn)題型（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第六節(jié) 雙 曲 線
考點(diǎn)一
雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程
[例1] (1)(2013·天津高考)已知拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)， 且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為______________．
(2)(2013·遼寧高考)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)．若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長(zhǎng)為________．
[自主解答] (1)由拋物線y2＝8x可知其準(zhǔn)線方程為x＝－2，
所以雙曲線的左焦點(diǎn)為
2、(－2,0)，即c＝2；[來源:]
又因?yàn)殡x心率為2，所以e＝＝2，故a＝1，
由a2＋b2＝c2知b2＝3，
所以該雙曲線的方程為x2－＝1.
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5，
所以|PQ|＝4b＝16>2a，
又因?yàn)锳(5,0)在線段PQ上，
所以P，Q在雙曲線的一支上，且PQ所在直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，由雙曲線定義知：
所以|PF|＋|QF|＝28.
即△PQF的周長(zhǎng)是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
[答案] (1)x2－＝1 (2)44
【互動(dòng)探究】
本例(2)中“若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍”改為“若PQ的長(zhǎng)等于實(shí)軸長(zhǎng)的2倍”
3、，則結(jié)果如何？
解：依題意知|PQ|＝4a＝12>2a.
又∵A(5,0)在線段PQ上，
∴PQ在雙曲線的一支上．
同樣|PF|－|PA|＝2a＝6，|QF|－|QA|＝2a＝6.
∴|PF|＋|QF|＝24.
∴△PQF的周長(zhǎng)是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝24＋12＝36.
【方法規(guī)律】
雙曲線定義運(yùn)用中的兩個(gè)注意點(diǎn)
(1)在解決與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題時(shí)，通?？紤]利用雙曲線的定義；
(2)在運(yùn)用雙曲線的定義解題時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的一支．
1．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右
4、焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝( )
A. B. C. D.
解析：選C ∵由雙曲線的定義有
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
則cos∠F1PF2＝
＝＝.
2．已知△ABP的頂點(diǎn)A，B分別為雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)P在雙曲線上，則的值等于( )
A. B. C. D.
解析：選A 在△ABP中，由正弦定理知
＝＝＝＝.
[來源:]
考點(diǎn)二
直線和雙曲線的綜合
[例2] (
5、2013·全國高考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y＝2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.
(1)求a，b；
(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|＝|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列．
[自主解答] (1)由題設(shè)知＝3，即＝9，
故b2＝8a2.
所以C的方程為8x2－y2＝8a2.
將y＝2代入上式，解得x＝± .
由題設(shè)知，2 ＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2.
(2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，C的方程為
6、8x2－y2＝8.①
由題意可設(shè)l的方程為y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化簡(jiǎn)，得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1x2＝.
于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|，得－(3x1＋1)＝3x2＋1，
即x1＋x2＝－.
故＝－，解得k2＝，從而x1x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，[來源:]
|AF2|
7、83;|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
從而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，
所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列．
【方法規(guī)律】
求解雙曲線綜合問題的主要方法
雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系．解決這類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題．設(shè)直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，直線的斜率為k，則|AB|＝|x1－x2|.
過雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)F2，傾斜角為30°的直
8、線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面積．
解：(1)由雙曲線的方程，得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．
直線AB的方程為y＝(x－3)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得5x2＋6x－27＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝ ·
＝ ·＝.
(2)直線AB的方程變形為x－3y－3＝0.
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離為d＝＝.
∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三
9、 雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
1．雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用，是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．
2．高考對(duì)雙曲線幾何性質(zhì)的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：
(1)求雙曲線的離心率(或范圍)；
(2)求雙曲線的漸近線方程；
(3)求雙曲線方程；
(4)求雙曲線的焦點(diǎn)(距)、實(shí)虛軸長(zhǎng)．
[例3] (1)(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為 ( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x
10、 D．y＝±x
(2)(2013·浙江高考)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是( )
A. B. C. D.
[自主解答] (1)＝＝ ，
所以＝，
故所求的雙曲線漸近線方程是y＝±x.
(2)設(shè)雙曲線C2的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，焦半距為c，|AF1|＝m，|AF2|＝n，
由題意知c＝，
2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4，
(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8,2
11、a＝|m－n|＝2，a＝，
則雙曲線C2的離心率e＝＝＝.
[答案] (1)C (2)D
與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的常見類型及解題策略
(1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求雙曲線的漸近線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程．
(3)求雙曲線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義，求雙曲線的方程．
(4)求雙曲線焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)虛軸的長(zhǎng)．依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解．
1．(2013·湖北高考)已知0&l
12、t;θ<，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的( )
A．實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．虛軸長(zhǎng)相等
C．離心率相等 D．焦距相等
解析：選D ∵0<θ<，∴sin θ<cos θ.
由雙曲線C1：－＝1知實(shí)軸長(zhǎng)為2sin θ，虛軸長(zhǎng)為2cos θ，焦距為2，離心率為.
由雙曲線C2：－＝1知實(shí)軸長(zhǎng)為2cos θ，虛軸長(zhǎng)為2sin θ，焦距為2，離心率為.
2．(2013·廣東高考)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
13、C.－＝1 D.－＝1
解析：選B 依題意c＝3，
又∵e＝＝，∴a＝2，
∴b2＝ c2－a2＝ 32－22＝5，
∴C的方程為－＝1.
3．(2013·湖南高考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________．
解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線C的右支上且F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，由雙曲線定義知
|PF1|－|PF2|＝2a，①
又|PF1|＋|PF2|＝6a，②[來源:]
由①②，得|PF1|
14、＝4a，|PF2|＝2a.
因?yàn)閏>a，所以2c>2a，
所以在△PF1F2中，∠PF1F2為最小內(nèi)角，
因此∠PF1F2＝30°.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 30°，
即4a2＝16a2＋4c2－8ac.
所以c2－2ac＋3a2＝0，
兩邊同除以a2得e2－2e＋3＝0.
解得e＝.
答案：
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)規(guī)律——等軸雙曲線的離心率及漸近線的關(guān)系
雙曲線
15、為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)．
2種方法——求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法
(1)定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng)的a，b的值即可求得方程．
(2)待定系數(shù)法
①定值：根據(jù)條件確定相關(guān)參數(shù)
②待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法
3個(gè)關(guān)注點(diǎn)——雙曲線幾何性質(zhì)的關(guān)注點(diǎn)
雙曲線的幾何性質(zhì)可從以下三點(diǎn)關(guān)注：
(1)“六點(diǎn)”：兩焦點(diǎn)、兩頂點(diǎn)、兩虛軸端點(diǎn)；
(2)“四線”：兩對(duì)稱軸(實(shí)、虛軸)、兩漸近線；
(3)“兩形”：中心、頂點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形；雙曲線上的一點(diǎn)(不包括頂點(diǎn))與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形．
3個(gè)防范——雙曲線問題的三個(gè)易混點(diǎn)
(1)區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c大小關(guān)系，在雙曲線中c2＝a2＋b2，而在橢圓中a2＝b2＋c2.
(2)雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)，而橢圓的離心率e∈(0,1)．[來源:]
(3)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x.
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