高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第六節(jié)正弦定理和余弦定理回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 【考綱下載】 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題. 1．正弦定理和余弦定理[來源:] 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R (R是△ABC外接圓半徑) a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C　 變形 形式[來源:] ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ④asin B＝

2、bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝， cos B＝， cos C＝ 解決 三角 形的 問題 ① 已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊； ② ②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角 ①已知三邊，求各角； ②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角 2.在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況 A為銳角 A為鈍角或直角 圖形[來源:] 關(guān)系 式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 無解 3.三角形中

3、常用的面積公式 (1)S＝ah(h表示邊a上的高)； (2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為△ABC內(nèi)切圓半徑)． 1．在三角形ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么條件？“A＞B”是“cos A＜cos B”的什么條件？ 提示：“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要條件，“A＞B”是“cos A＜cos B”的充要條件． 2．在三角形中，“a2＋b2＜c2”是“△ABC為鈍角三角形”的什么條件？“a2＋b2＞c2”是“△ABC為銳角三角形”的什么條件？ 提示：“a2＋b2＜c2”是“△ABC為鈍角三

4、角形”的充分不必要條件；“a2＋b2＞c2”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件． 1．(2013·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，則sin B＝(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1 解析：選B　依題意，由＝，即＝，得sin B＝. 2．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，則b等于(　　) A．2 B．12 C．2 D．28 解析：選A　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2. 3．(2013·湖南高考)在銳

5、角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B＝b，則角A等于(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由正弦定理可得，2asin B＝b可化為2sin Asin B＝sin B，又sin B≠0，所以sin A＝，又△ABC為銳角三角形，得A＝. 4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，則△ABC的面積為________． 解析：∵cos C＝，∴sin C＝， ∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4. 答案：4 5．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，則b

6、＝________. 解析：由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4. 答案：4 答題模板(三) 利用正、余弦定理解三角形 [典例]　(2013·江西高考)(12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大??； (2)若a＋c＝1，求b的取值范圍． [快速規(guī)范審題] 第(1)問 1．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論：求角B的大小轉(zhuǎn)化為求sin B、cos B或tan B的值． 2．審條件，挖解題信息

7、觀察條件：cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0A＋B＋C＝π,cos [π－(A＋B)]＋(cos A－sin A)cos B＝0，即sin Asin B－sin Acos B＝0. 3．建聯(lián)系，找解題突破口 sin Asin B－sin Acos B＝0sin B＝cos Btan B＝B＝. 第(2)問 1．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論：求b的取值范圍b2＝a2＋c2－2accos B. 2．審條件，挖解題信息 觀察條件：B＝，a＋c＝1可考慮利用余弦定理建立聯(lián)系． 3．建聯(lián)系，找解題突破口 b2＝a2＋c2－2accos B→b2＝32＋求b2的范圍

8、，進(jìn)而求得結(jié)論．, [準(zhǔn)確規(guī)范答題] (1)由已知得 －cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0， 即有sin Asin B－sin Acos B＝0，?2分 此處易忽視對sin A≠0，cos B≠0的說明，直接得出tan B＝，造成解題步驟不完整因?yàn)閟in A≠0，所以sin B－cos B＝0， 又cos B≠0，所以tan B＝，?4分 此處易忽視B的范圍，直接得出B＝又0＜B＜π，所以B＝.?6分[來源:] (2)由余弦定理，得b2＝a2＋ c2－2accos B. 因?yàn)閍＋c＝1，cos B＝， 所以b2＝32＋. ?10分 又0＜a＜1，于是有≤b2＜1，即≤b＜1.?12分 [答題模板速成] 解三角形問題一般可用以下幾步解答： 第一步　邊角互化 利用正弦定理或余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化 第二步　三角變換 三角變換、化簡、消元，從而向已知角(或邊)轉(zhuǎn)化 第三步　由值求角 代入求值 第四步　反思回顧 查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯點(diǎn)，如本題中公式應(yīng)用是否正確，a的取值范圍是否正確 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品