高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第六節(jié)幾何概型突破熱點(diǎn)題型

△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第六節(jié)　幾 何 概 型 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)一 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型　　 1．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對(duì)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)與線段長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型； (2)與曲線長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型； (3)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型； (4)與不等式有關(guān)的幾何概型． [例1]　(1)(2013·福建高考)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1<0”發(fā)生的概率為________． (2)在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cos x的值介于0到之間的概率為________． [自主解答]　(1)由3a－1<0，得a<，而0～1的長(zhǎng)度為1，故所求概率為. (2)當(dāng)－≤x≤時(shí)，由0≤cos x≤，得－≤x≤－或≤x≤，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為. [答案]　(1)　(2) 【互動(dòng)探究】 本例(2)中，若將“cos x的值介于0到”改為“cos x的值介于0到”，則概率如何？ 解：當(dāng)－≤x≤時(shí)， 由0≤cos x≤， 得－≤x≤－或≤x≤， 根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.　　 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的常見類型及解題策略 (1)與線段長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式求解，直接利用兩線段的長(zhǎng)度之比即可． (2)與曲線長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式，求曲線的長(zhǎng)度之比即可． (3)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式，求時(shí)間段之比即可． (4)與不等式有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式，求兩實(shí)數(shù)之間距離之比即可． 1．(2013·湖北高考)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去． 當(dāng)2<m<4時(shí)，由題意得＝，解得m＝3. 答案：3 2．已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝，在集合A中任取一個(gè)元素x，則事件“x∈A∩B”的概率是________．[來(lái)源:] 解析：由題意得A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|2<x<3}，由幾何概型知，在集合A中任取一個(gè)元素x，則x∈A∩B的概率為P＝. 答案： 考點(diǎn)二 與面積有關(guān)的幾何概型 　[來(lái)源:] [來(lái)源:] [例2]　(1)(2013·陜西高考)如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號(hào)的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是(　　) A．1－ B.－1 C．2－ D. (2)(2013·四川高考)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是(　　) A. B. C. D. [自主解答]　(1)依題意知，有信號(hào)的區(qū)域面積為×2＝，矩形面積為2，故無(wú)信號(hào)的概率P＝＝1－. (2)設(shè)第一串彩燈亮的時(shí)刻為x，第二串彩燈亮的時(shí)刻為y，則 要使兩串彩燈亮的時(shí)刻相差不超過2秒，則 如圖所示，不等式組所表示的圖形面積為16，不等式組所表示的六邊形OABCDE的面積為16－4＝12， 由幾何概型的概率公式可得P＝＝. [答案]　(1)A　(2)C 【方法規(guī)律】 求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn) 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，以求面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解． 1．(2014·邛崍模擬)已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5,5,6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2的概率是(　　) A．2－ B．1－ C．2－ D．1－ 解析： 選B　如圖，當(dāng)螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2時(shí)，螞蟻要在圖中的空白區(qū)域內(nèi)，△ABC為等腰三角形，假設(shè)AB＝AC＝5，易知AD＝4，△ABC的面積是12，由于三角形內(nèi)角和等于π，圖中的三個(gè)扇形的面積之和等于一個(gè)半徑為2的圓的面積的一半，即三個(gè)扇形的面積之和等于2π，故空白區(qū)域的面積是12－2π，所求的概率為＝1－. 2．已知平面區(qū)域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向區(qū)域U內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為________． 解析： 依題意可在平面直角坐標(biāo)系中作出集合U與A所表示的平面區(qū)域(如圖)，由圖可知SU＝18，SA＝4，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為P＝＝. 答案： 考點(diǎn)三 與角度有關(guān)的幾何概型 　 [例3]　 如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率． [自主解答]　因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°. 在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，所以BD＝＝1，∠BAD＝30°. 記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生． 由幾何概型的概率公式，得P(N)＝＝. 【互動(dòng)探究】 若本例中“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，求BM<1的概率．[來(lái)源:] 解：依題意知BC＝BD＋DC＝1＋， P(BM<1)＝＝.　　　　 【方法規(guī)律】 與角度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段． 提醒：有時(shí)與長(zhǎng)度或角度有關(guān)的幾何概型，題干并不直接給出，而是將條件隱藏，與其他知識(shí)綜合考查． 1. 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________． 解析：如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為＝. 答案： 2．如圖，M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長(zhǎng)度超過R的概率是________． 解析：連接圓心O與M點(diǎn)，作弦MN使∠MON＝90°，這樣的 點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為N1，N2，僅當(dāng)點(diǎn)N在不包含點(diǎn)M的半圓弧上取值時(shí)，滿足MN>R，此時(shí)∠N1ON2＝180°，故所求的概率為＝. 答案：[來(lái)源:] ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1條規(guī)律——對(duì)幾何概型概率公式中“測(cè)度”的認(rèn)識(shí) 　幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法． 2種方法——判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 (1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系． (2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長(zhǎng)度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域． 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品