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第四節(jié) 合情推理與演繹推理
【考綱下載】
1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．
2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理．[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
3．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．
[來源:]
1．合情推理
(1)歸納推理
①定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理．
②特點(diǎn)：是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理．
(2)類比推理[來源:]
①
2、定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理．
②特點(diǎn)：是由特殊到特殊的推理．
2．演繹推理
(1)模式：三段論
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情況；
③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．
(2)特點(diǎn)：是由一般到特殊的推理．
1．歸納推理的結(jié)論一定正確嗎？
提示：不一定，結(jié)論是否真實(shí)，還需要經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)．
2．演繹推理所獲得的結(jié)論一定可靠嗎？
提示：不一定，只有前提是正確的，推理形式是正確的，結(jié)論才一定是真實(shí)的，錯(cuò)誤的前提則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論．
1．下列
3、表述正確的是( )
①歸納推理是由部分到整體的推理；
②歸納推理是由一般到一般的推理；
③演繹推理是由一般到特殊的推理；
④類比推理是由特殊到一般的推理；
⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
解析：選D 由歸納推理、類比推理及演繹推理的特征可知①③⑤正確．
2．下面幾種推理是合情推理的是( )
①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180；
③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學(xué)成績都是100分；
4、
④三角形的內(nèi)角和是180，四邊形的內(nèi)角和是360，五邊形的內(nèi)角和是540，由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n－2)180.
A．①② B．①③ C．①②④ D．②④
解析：選C?、偈穷惐韧评?，②④是歸納推理，③是非合情推理．[來源:]
3．“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)y＝x是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯(cuò)誤在于( )
A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
D．大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)
解析：選A 當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax為增函數(shù)；當(dāng)0
5、函數(shù)．故大前提錯(cuò)誤．
4．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．
解析：因?yàn)閮蓚€(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則底面積之比為1∶4，底面對(duì)應(yīng)的高之比是1∶2，所以體積之比為1∶8.
答案：1∶8
5．(教材習(xí)題改編)在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想，在n邊形A1A2…An中，成立的不等式為________．
解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2
6、，…，故在n邊形A1A2…An中，有不等式＋＋…＋≥成立．
答案：＋＋…＋≥(n≥3)
前沿?zé)狳c(diǎn)(十三)
與歸納推理有關(guān)的創(chuàng)新交匯題
1．歸納推理主要有數(shù)與式的歸納推理、圖形中的歸納推理、數(shù)列中的歸納推理；類比推理主要有運(yùn)算的類比、性質(zhì)的類比、平面與空間的類比，題型多為客觀題．
2．解決此類問題首先要通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)；然后把這種相似性推廣到一個(gè)明確表述的一般命題(猜想)；最后對(duì)所得的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)．
[典例] (2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n＝1,2,3，….若
7、b1>c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，則 ( )
A．{Sn}為遞減數(shù)列
B．{Sn}為遞增數(shù)列
C．{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列
D．{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列
[解題指導(dǎo)] 先確定三角形的一邊長不變及周長不變，利用另兩邊最接近的時(shí)候面積最大等知識(shí)求解．
[解析] 在△A1B1C1中，b1>c1，b1＋c1＝2a1，∴b1>a1>c1.
在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝，c2＝，b2＋c2＝2a1，∴c1
8、c3＝2a1，
∴a1
9、標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)．若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形．格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4.
(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，N，L分別是________；
(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c為常數(shù)．若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N＝71，L＝18，則S＝________(用數(shù)值作答)．
解析：(1)由定義知，四邊形DEFG由一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)平行四邊形構(gòu)成，其內(nèi)部格點(diǎn)有1個(gè)，邊界上格點(diǎn)有6個(gè)，S四邊形DEFG＝3.[來源:]
(2)由待定系數(shù)法可得，
?
當(dāng)N＝71，L＝18時(shí)，S＝171＋18－1＝79.
答案：(1)3,1,6 (2)79
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第四節(jié)合情推理與演繹推理回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)
