《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)
【考綱下載】
1．了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)．
2．了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)．
1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系
函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則
(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
2、
(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．
2．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)的極小值
若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，且f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則a點(diǎn)叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值
若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，且f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則b點(diǎn)叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．
3．函
3、數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件：
一般地，如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟為：
①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；
②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．
1．若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0嗎？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件？
提示：函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥
4、0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件．
2．導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？“導(dǎo)數(shù)為0”是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的什么條件？
提示：不一定．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn)；如函數(shù)f(x)＝x3，在x＝0處，有f′(0)＝0，但x＝0不是函數(shù)f(x)＝x3的極值點(diǎn)；其為函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的必要而不充分條件．
3．函數(shù)的極值和函數(shù)的最值有什么聯(lián)系和區(qū)別？
提示：極值是局部概念，指某一點(diǎn)附近函數(shù)值的比較，因此，函數(shù)的極大(小)值，可以比極小(大)值小(大)；最值是整體概念，最大、最小值是指閉區(qū)間[a，b]上所有函數(shù)值的比較．因而在一般情況下
5、，兩者是有區(qū)別的，極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值，但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．
[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)]
1．如圖所示是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下列判斷中正確的是( )
A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3,0)上是減函數(shù)
B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3,2)上是減函數(shù)[來(lái)源:]
C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)
D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3,2)上是單調(diào)函數(shù)
解析：選A 當(dāng)x∈(－3,0)時(shí)，f′(x)<0，則f(x)在(－3,0)上是減函數(shù)．其他判斷均不正確．
6、
2．函數(shù)f(x)＝ex－x的單調(diào)遞增區(qū)間是( )[來(lái)源:]
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(0，＋∞)
解析：選D ∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋ln x，則( )
A．x＝為f(x)的極大值點(diǎn)
B．x＝為f(x)的極小值點(diǎn)
C．x＝2為f(x)的極大值點(diǎn)
D．x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)
解析：選D f(x)＝＋ln x，f′(x)＝－＋＝，當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x<2時(shí)，f′(x)<0
7、，此時(shí)f(x)為減函數(shù)，據(jù)此知x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)．
4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的最大值是________．
解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
5．函數(shù)f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.
答案：－
壓軸大題巧突破(三)[來(lái)源:]
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問
8、題
[典例] (2013浙江高考)(14分)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.
(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；
(2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，求|f(x)|的最大值．
[化整為零破難題]
(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率，求導(dǎo)后計(jì)算出斜率，寫出切線方程即可；
(2)基礎(chǔ)問題1：|f(x)|的最大值與f(x)的最值之間有什么關(guān)系？
如果函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，則|f(x)|的最大值必定是|M|和|m|中的一個(gè)．因此要求|f(x)|的最大值，應(yīng)求f(x)的最值．
基礎(chǔ)問題2：如何求函數(shù)y＝f(x)，x∈[0,2]的
9、最值？
由于f(x)是關(guān)于x的三次函數(shù)，因此，f(x)在[0,2]上的最值為函數(shù)f(x)在[0,2]上的端點(diǎn)值或極值．從而只要求出f(x)在[0,2]上的端點(diǎn)值f(0)，f(2)及其極值，然后比較其絕對(duì)值的大小即可．
基礎(chǔ)問題3：如何求f(x)在[0,2]上的極值？
要求f(x)在[0,2]上的極值，應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的單調(diào)性，即研究f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)(0≤x≤2)的函數(shù)值符號(hào)，由于0≤x≤2，所以0≤3(x－1)2≤3.故應(yīng)分3(a－1)≥0,3(a－1)≤－3，－3<3(a－1)<0，即a≥1，a≤0,0
10、a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)函數(shù)，故只需比較|f(0)|與|f(2)|的大小即可；當(dāng)00，f(x)極大值－f(x)極小值>0，從而可確定f(x)極大值>|f(x)極小值|.因此|f(x)|max＝max，由于0|f(2)|，≤a<1時(shí)，|f(2)|＝f(2)≥|f(0)|.故當(dāng)0
11、)極大值的大小即可．
[規(guī)范解答不失分]
(1)由題意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3. 2分
又f(1)＝1，所以所求的切線方程為y＝(3a－3)x－3a＋4. 4分
(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故
(ⅰ)①，有f′(x)≤0，此時(shí)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.
12、 5分
(ⅱ)①，有f′(x)≥0，此時(shí)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1. 6分
(ⅲ)當(dāng)0
13、(x－x2)．列表如下：
x
0
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋[來(lái)源:]
f(x)
3－3a
↗
極大值
f(x1)
↘
極小值
f(x2)
↗
3a－1
由于f(x1)＝1＋2(1－a)，f(x2)＝1－2(1－a)， 8分
故f(x1)＋f(x2)＝2>0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a) >0，從而f(x1)>|f(x2)|.②
所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}.
14、 10分
a.③，f(0)>|f(2)|.又f(x1)－f(0)＝2(1－a)－(2－3a)＝>0，故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a). 11分
b.③，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a)－(3a－2)＝，所以④，f(x1)>|f(2)|.故f(x)max＝f(x1)＝1＋2(1－a).
12分
④，f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1.
15、 13分
綜上所述，|f(x)|max＝ 14分
[易錯(cuò)警示要牢記]
易錯(cuò)
點(diǎn)一
①處易忽視對(duì)a≤0和a≥1兩種情況的討論，而直接令f′(x)＝0，求出x1＝1－，x2＝1＋而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤
易錯(cuò)
點(diǎn)二
②處易發(fā)生不會(huì)比較f(x1)與|f(x2)|的大小，造成問題無(wú)法求解，或求解繁瑣，進(jìn)而造成解題失誤
易錯(cuò)
點(diǎn)三
③處易發(fā)生不知如何比較f(0)，|f(2)|，f(x1)三者大小而造成問題無(wú)法后續(xù)求解．事實(shí)上，此處的分類依據(jù)是：先比較出f(0)與|f(2)|的大小，然后利用二者中的較大者再與f(x1)比較大小
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