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第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性
【考綱下載】
1．結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．
2．會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．
3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性．
[來源:
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1．奇函數(shù)、偶函數(shù)及其圖象特征
奇函數(shù)
偶函數(shù)
定[來源:]
義[來源:
義
一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，
都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)
都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)
圖象
特征
關于原點對稱
關于y軸對稱
2、
2．周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
1．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b](a≠b)上有奇偶性，則實數(shù)a，b之間有什么關系？
提示：a＋b＝0.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱．
2．若f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，那么f(0)為何值？如果是偶函數(shù)呢？
提示：如果f(x)是奇函數(shù)時，f(0)＝－f
3、(0)，則f(0)＝0；如果f(x)是偶函數(shù)時，f(0)不一定為0，如f(x)＝x2＋1.
3．是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？若有，有多少個？
提示：存在，如f(x)＝0，定義域是關于原點對稱的任意一個數(shù)集，這樣的函數(shù)有無窮多個．
4．若T為y＝f(x)的一個周期，那么nT(n∈Z)是函數(shù)f(x)的周期嗎？
提示：不一定．由周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期是非零常數(shù)，當n∈Z且n≠0時，nT是f(x)的周期．
1．(2013廣東高考)定義域為R的四個函數(shù)y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函數(shù)的個數(shù)是( )
A．4 B．3 C．
4、2 D．1
解析：選C 函數(shù)y＝x3，y＝2sin x為奇函數(shù)，y＝2x為非奇非偶函數(shù)，y＝x2＋1為偶函數(shù)，故奇函數(shù)的個數(shù)是2.
2．(2013山東高考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時， f(x) ＝x2＋，則f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
解析：選A 因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
3．(2013湖北高考)x為實數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x－[x]在R上為( )
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．周期函數(shù)
解析：選D 函數(shù)f(x)＝x
5、－[x]在R上的圖象如下圖：
故f(x)在R上為周期函數(shù)．
4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.
解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a為二次函數(shù)，其圖象的對稱軸為x＝－，因為偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，所以－＝0，解得a＝4.
答案：4
5．設f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f＝________.
解析：∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)，
∴f＝－f＝－f＝－f＝
－2＝－.
答案：－
前沿熱點(二)
與奇偶性、周期性有關的交匯問題
1．函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調性是函數(shù)的三大性
6、質，在高考中常常將它們綜合在一起與函數(shù)圖象、函數(shù)零點等問題相交匯命題．
2．函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為f(－x)與f(x)的相等或相反關系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為f(x＋T)與f(x)的關系．函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關系，而函數(shù)的單調性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此，在解題時，往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉換，再利用單調性來解決相關問題．
[典例] (2012遼寧高考)設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x3.又函數(shù)g(x)＝|xcos
7、(πx)|，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點個數(shù)為( )
A．5 B．6 C．7 D．8
[解題指導] 由f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)可知該函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)，可畫出g(x)與f(x)的圖象，利用數(shù)形結合的思想求解．
[解析] 由題意知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函數(shù)圖象，如圖．由圖可知函數(shù)y＝g(x)，y＝f(x)在上有6個交點，故函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點有6個．
[答案] B
[名師點評] 解決本題的關鍵有以下幾點：
(1)正確識別函數(shù)f(x)的性質；
8、(2)注意到x＝0是函數(shù)h(x)的一個零點，此處極易被忽視；
(3)正確畫出函數(shù)的圖象，將零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題．
(2014合肥模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．當0≤x≤1時，f(x)＝x2.若直線y＝x＋a與函數(shù)y＝f(x)的圖象在[0,2]內恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的值是( )
A．0 B．0或－
C．－或－ D．0或－
解析：選D ∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2.
又0≤x≤1時，f(x)＝x2，可畫出函數(shù)y＝f(x)在一個周期內的圖象如圖．
顯然a＝0時，y＝x與y＝x2在[0,2]內恰有兩個不同的公共點．
另當直線y＝x＋a與y＝x2(0≤x≤1)相切時也恰有兩個不同公共點，由題意知x2＝x＋a，即x2－x－a＝0，Δ＝1＋4a＝0，則a＝－，此時x＝.
綜上可知a＝0或－.
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高考數(shù)學復習：第二章 ：第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
