高考數(shù)學復(fù)習：第九章 ：第六節(jié)數(shù)學歸納法回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 第六節(jié)　數(shù)學歸納法 1．了解數(shù)學歸納法的原理． 2．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題． [來源:數(shù)理化網(wǎng)] 1．數(shù)學歸納法 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立． 2．數(shù)學歸納法的框圖表示 對于不等式

2、 (1)當n＝1時，<1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k∈N*且k≥1)時，不等式成立，即

3、*)，則f(1)為(　　) A．1 B. C．1＋＋＋＋ D．非以上答案 解析：選C　∵f(n)＝1＋＋＋…＋， ∴f(1)＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋. 3．某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時，該命題不成立，那么可以推得(　　) A．n＝6時該命題不成立 B．n＝6時該命題成立 C．n＝4時該命題不成立 D．n＝4時該命題成立 解析：選C　因為當n＝k(k∈N*)時命題成立，則當n＝k＋1時，命題也成立．現(xiàn)n＝5時，命題不成立，故n＝4時命題

4、也不成立． 4．(教材習題改編)用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋1)，第一步要證的不等式是________________． 解析：當n＝2時，左邊為1＋＋＝1＋＋，右邊為2.故應(yīng)填1＋＋<2. 答案：1＋＋<2 5．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上增添的代數(shù)式是_____________________________________________________________． 解析：∵當n＝k時，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2， 當n＝k＋1時，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1

5、)2， ∴當n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上增添(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.[來源:] 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 前沿熱點(十四) 數(shù)學歸納法的應(yīng)用 數(shù)學歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，常與數(shù)列、函數(shù)等知識結(jié)合一起考查，常以解答題的形式出現(xiàn)，具有一定的綜合性和難度，屬中高檔題． [典例]　(2012湖北高考改編)已知函數(shù)f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x>0)，其中r為有理數(shù)，且0

6、，若b1＋b2＝1，則a1b1a2b2≤a1b1＋a2b2； (2)請將(1)中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學歸納法證明你所推廣的命題． [解題指導]　 (1)對于不等式的證明要注意利用已知條件進行突破； (2)本問數(shù)學歸納法的運用相對而言難度高，運算量大，在歸納證明時一要細心運算，二要注意假設(shè)條件的恰當運用．[來源:] [解]　(1)由已知，當x∈(0，＋∞)時，有f(x)≥f(1)＝0， 即xr≤rx＋(1－r)．① 若a1，a2中有一個為0，則ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立． 若a1，a2均不為0，由b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是在①中令x＝，r＝b1

7、，可得b1≤b1＋(1－b1)， 即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2. 綜上，對a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數(shù)，且b1＋b2＝1，總有ab11ab22≤a1b1＋a2b2.②[來源:] (2)(1)中命題的推廣形式為： 設(shè)a1，a2，…，an為非負實數(shù)，b1，b2，…，bn為正有理數(shù)． 若b1＋b2＋…＋bn＝1， 則ab11ab22…abnn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，③ 用數(shù)學歸納法證明如下： a．當n＝1時，b1＝1，有a1≤a1，③成立． b．假設(shè)當n＝k時，③成立，即若a1，a2，…，ak為

8、非負實數(shù)，b1，b2，…，bk為正有理數(shù)，且b1＋b2＋…＋bk＝1， 則ab11ab22…abkk≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk. 當n＝k＋1時，已知a1，a2，…，ak，ak＋1為非負實數(shù)，b1，b2，…，bk，bk＋1為正有理數(shù)，且b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1， 此時00， 于是ab11ab22…abk＋1k＋1＝(ab11ab22…abkk)abk＋1k＋1 ＝a1a2…ak1－bk＋1abk＋1k＋1. 因為＋＋…＋＝1，由歸納假設(shè)可得a1a2…ak≤a＋a2＋…＋ak＝. 從而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1 ≤

9、1－bk＋1abk＋1k＋1. 又因為(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得 1－bk＋1abk＋1k＋1 ≤(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1 ＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1， 從而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1. 故當n＝k＋1時，③成立． 由a，b可知，對一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立． [名師點評]　解決數(shù)學歸納法中“歸納—猜想—證明”問題及不等式證明時要特別關(guān)注： 一是需驗證n＝1，n＝2時結(jié)論成立，易忽略驗證n＝2； 二是需要熟練掌握數(shù)學歸納法幾種常見的推證技巧，才能快速正確

10、地解決問題． 除此外，應(yīng)用數(shù)學歸納法時，以下幾點容易造成失分： 1．把初始值搞錯； 2．在推證n＝k＋1時，沒有用上歸納假設(shè)； 3．對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時，項數(shù)發(fā)生的變化被弄錯． 數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)． (1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；[來源:] (2)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列． 解：(1)證明：先證充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c

11、設(shè){xn}是遞增數(shù)列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c. 由x10，即xn<1－. 由②式和xn≥0還可得，對任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③ 反復(fù)運用③式，得－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1， xn<1－和 －xn<(1－)n－1兩式相加，知2－1<(1－)n－1對任意n≥1成立． 根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝(1－)n的性質(zhì)，得2－1≤0，c≤，故0

12、(Ⅱ)若00， 即證xn< 對任意n≥1成立． 下面用數(shù)學歸納法證明當0xn，即{xn}是遞增數(shù)列． 由①②知，使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是. 高考數(shù)學復(fù)習精品 高考數(shù)學復(fù)習精品