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第一節(jié) 函數(shù)及其表示
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1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念．
2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析式法)表示函數(shù)．
3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．
1．函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A，B是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)；那么就稱：f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作y＝f(x)，x∈A.
2．函數(shù)的三要素
函數(shù)由定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系三個要素構(gòu)成，對函
2、數(shù)y＝f(x)，x∈A，其中
(1)定義域：自變量x的取值范圍．
(2)值域：函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}．
3．函數(shù)的表示方法
表示函數(shù)的常用方法有：解析式法、圖象法、列表法．
4．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．
5．映射的概念
設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按照確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y和x對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B叫做從集合A到集合B的一個映射．
1．函數(shù)概念中的“集合A、B”與映射概念
3、中的“集合A、B”有什么區(qū)別？
提示：函數(shù)概念中的A、B是兩個非空數(shù)集，而映射中的集合A、B是兩個非空的集合即可．
2．函數(shù)是一種特殊的映射，映射一定是函數(shù)嗎？
提示：不一定．
3．已知函數(shù)f(x)與g(x)．[來源:]
(1)若它們的定義域和值域分別相同，則f(x)＝g(x)成立嗎？
(2)若它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，則f(x)＝g(x)成立嗎？
提示：(1)不成立；(2)成立．
1．下列各圖形中是函數(shù)圖象的是( )
解析：選D 由函數(shù)的定義可知選項D正確．[來源:]
2．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
4、B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝，g(x)＝
解析：選A 對于A，g(x)＝＝|x|，且定義域相同，所以A項表示同一函數(shù)；對于B、C、D，函數(shù)定義域都不相同．[來源:]
3．(2013江西高考)函數(shù)y＝ ln(1－x)的定義域為( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
解析：選B 要使函數(shù)y＝ln(1－x)有意義，需即0≤x<1.
4．(2014青島模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f的值為________．
解析：由題易知，f(2)＝4，＝，故f＝
5、f＝1－2＝.
答案：
5．(教材習題改編)A＝{x|x是銳角}，B＝(0,1)，從A到B的映射是“求余弦”，與A中元素60相對應(yīng)的B中的元素是________；與B中元素相對應(yīng)的A中的元素是________．
解析：當x＝60時，y＝cos 60＝；當x∈(0，90)，cos x＝時，x＝30.
答案： 30
數(shù)學思想(一)
分類討論在分段函數(shù)中的應(yīng)用
由于分段函數(shù)在不同定義區(qū)間上具有不同的解析式，在處理分段函數(shù)問題時應(yīng)對不同的區(qū)間進行分類求解，然后整合，這恰好是分類討論的一種體現(xiàn)．
[典例] (2014西城模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3
6、，則方程f(x)＝x的解集為________．[來源:]
[解題指導(dǎo)] 本題可由條件f(－2)＝f(0)及f(－1)＝－3求出f(x)的解析式，但在解方程f(x)＝x時應(yīng)分x≤0和x>0兩種情況討論．
[解析] 當x≤0時，f(x)＝x2＋bx＋c，因為f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，則解得
故f(x)＝
當x≤0時，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，
解得x＝－2或x＝1(1>0，舍去)．
當x>0時，由f(x)＝x，得x＝2.
所以方程f(x)＝x的解集為{－2,2}．
[答案] {－2,2}
[題后悟道] 解決分段函數(shù)問題的關(guān)鍵是“對號入座”，即根據(jù)自變量取值的范圍，準確確定相應(yīng)的對應(yīng)法則，代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù)在指定區(qū)間上的問題，解完之后應(yīng)注意檢驗自變量取值范圍的應(yīng)用．總之，解決分段函數(shù)的策略就是“分段函數(shù)，分段解決”，亦即應(yīng)用分類討論思想解決．
設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，則a＝ ( )
A．－3 B．3 [來源:]
C．－1 D．1
解析：選D 因為f(－1)＝＝1，所以f(a)＝1，當a≥0時，＝1，所以a＝1；當a<0時，＝1，所以a＝－1.
故a＝1.
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