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1、
《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》教學(xué)設(shè)計
主講：牛曉偉
這節(jié)課主要是根據(jù)由特殊到一般,再由一般得以證明，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式與 ,并初步進行這些公式的三類基本應(yīng)用.
教學(xué)重點
公式與 的推導(dǎo)及以下三類基本應(yīng)用:
(1)已知某角的正弦、余弦、正切中的一個,求其余兩個三角函數(shù).
(2)化簡三角函數(shù)式.
(3) 證明簡單的三角恒等式.
教學(xué)難點
(1)已知某角的一個三角函數(shù)值,求它的其余各三角函數(shù)值時,正負號的選擇,正確運用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關(guān)鍵;
(2)證明恒等式是這節(jié)課的另一個難點.課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨立解決問題,優(yōu)化自己的解
2、題過程.
教學(xué)目標
1. 讓學(xué)生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過程,培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐、探索、研究能力.
2. 理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,并能初步運用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題,培養(yǎng)學(xué)生的運算能力,邏輯推理能力.
3. 通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí),揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀.
任務(wù)分析
這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式: 及 ,并進行初步的應(yīng)用.無論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨立完成,即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識探索出來,并用以解決新
3、的問題.教師可以在以下幾點上加以強調(diào):(1)"同角"二字的含義.(2)關(guān)系式的適用條件.(3)怎樣優(yōu)化解題過程.
教學(xué)設(shè)計
一、問題情境
教師出示問題:上一節(jié)內(nèi)容,我們學(xué)習(xí)了任意角α的三個三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線,大家知道它們之間有什么聯(lián)系嗎?你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎?
二、建立模型
1. 引導(dǎo)學(xué)生寫出任意角α的三個三角函數(shù),并探索它們之間的關(guān)系
在角α的終邊上任取不同于原點的一點P(x,y),它與原點的距離是r(r>0),則角α的三個三角函數(shù)值分別為
2. 推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式
(1)學(xué)生活動：
4、
(2)引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析和討論, 由特殊到一般,再由一般得以證明，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式：
平方關(guān)系:
商數(shù)關(guān)系:
注:當放手讓學(xué)生推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時,部分學(xué)生可能會利用三角函數(shù)線,借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結(jié)論.對于這種推導(dǎo)方法,教師也應(yīng)給以充分肯定.(轉(zhuǎn)化與化歸)
教師啟發(fā):①對"同角"二字,大家是怎樣理解的?
②這兩個基本關(guān)系式中的角α有沒有范圍限制?
③自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系,大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣,也許每天都會有新的發(fā)現(xiàn).剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,那么
5、這些關(guān)系式能用于解決哪些問題呢?
3.證明：
(1).(采用定義)
(2).采用三角函數(shù)線與定義相結(jié)合的方法
三、應(yīng)用
[例 題]
1. 已知sinα= ,且α是第二象限角,求角α的余弦值和正切值.
變式1 在例1中若去掉"且α是第二象限角",該題的解答過程又將如何?
說明:這兩個題是關(guān)系式的基本應(yīng)用.(分類討論思想)
分析：仿照例1的變題，我們需要根據(jù)已知角的三角函數(shù)值分象限進行討論；另外，要注意方程思想的運用。
小結(jié):由平方關(guān)系求值時,要涉及開方運算,自然存在符號的
6、選取問題.由于本題沒有具體指明α是第幾象限角,因此,應(yīng)針對α可能所處的象限,分類討論.(分類討論、方程思想)
課堂練習(xí)：
針對兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況,教師及時點撥:
觀察所求式子的特點,看能不能不通過求sinα,cosα的值而直接得出該分式的值.
總結(jié)：對公式需靈活運用，本題若由條件通過解方程組得出正弦與余弦的值，然后再代入求解，顯然計算量很大。但是我們?nèi)绻麚Q一個角度，由所要求的向條件靠攏，將會簡單易行多了。
[練 習(xí)]
(1)
教師引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié):(1)由于開方運算一般存在符號選取問題,因此,在求值過程中,若能避免開方的應(yīng)盡量避免
7、.
(2)當式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n(n∈N且n≥1)次冪的齊次式時,采用上述方法可優(yōu)化解題過程.
四.課堂小結(jié)
v 這堂課我們通過三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式并得出其變形形式。通過例題體會了這些關(guān)系式在三個方面的應(yīng)用:
v ①由一個三角函數(shù)值求出其它的三角函數(shù)值。
思想方法：
1、特殊-----一般-----證明
2、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、整體處理思想。
五.作業(yè):習(xí)題1.2A組 10.11
六.預(yù)習(xí)提示：
通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式體會在其他兩個方面的應(yīng)用：
v 化簡三角函數(shù)值。
v 證明有關(guān)三角恒等式。
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