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第一節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算
【考綱下載】
1．了解導數(shù)概念的實際背景．
2．理解導數(shù)的幾何意義．
3．能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的導數(shù)．
4．能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單復合函數(shù)(僅限于形如y＝f(ax＋b)的復合函數(shù))的導數(shù)．
1．導數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)：
稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率
li ＝li 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0
2、，即f′(x0)＝li ＝li .
(2)導數(shù)的幾何意義：
函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(3)函數(shù)f(x)的導函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝li 為f(x)的導函數(shù)．
2．幾種常見函數(shù)的導數(shù)
原函數(shù)
導函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x[來源:]
f′(x
3、)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝[來源:]
3．導數(shù)的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；[來源:]
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．復合函數(shù)的導數(shù)[來源:]
復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導
4、數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
1．f′(x)與f′(x0)有何區(qū)別與聯(lián)系？
提示：f′(x)是一個函數(shù)，f′(x0)是常數(shù)，f′(x0)是函數(shù)f′(x)在x0處的函數(shù)值．
2．曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線與過點，y0)的切線，兩種說法有區(qū)別嗎？
提示：(1)曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，斜率為k＝f′(x0)的切線，是唯一的一條切線．
(2)曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過P點．點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．
3．過圓上一點P的切線與圓只有公共點P，過函數(shù)y＝f(x)圖象上一點P的切線與
5、圖象也只有公共點P嗎？
提示：不一定，它們可能有2個或3個或無數(shù)多個公共點．
1．下列求導運算正確的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：選B ′＝x′＋′＝1－；(3x)＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋ x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
2．若f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
解析：選B ∵f
6、(x)＝ax4＋bx2＋c，∴f′(x)＝4ax3＋2bx，
又f′(1)＝2，∴4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－4a－2b＝－2.
3．曲線y＝2x－x3在x＝－1處的切線方程為( )
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0
解析：選A ∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.
又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切線方程為y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.
4．曲線y＝ax2－ax＋1(a≠0)在點(0,1)處的切線與直線2x＋y＋1＝0垂直，則a＝( )[來源
7、:]
A. B．－ C. D．－
解析：選B ∵y＝ax2－ax＋1，∴y′＝2ax－a，∴y′|x＝0＝－a.
又∵曲線y＝ax2－ax＋1(a≠0)在點(0,1)處的切線與直線2x＋y＋1＝0垂直，∴(－a)·(－2)＝－1，即a＝－.
5．(教材習題改編)如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)＝________.
解析：由題意知f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
答案：2
易誤警示(十一)
導數(shù)幾何意義應用的易誤點
[典例] 若存在過
8、點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，則a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
[解題指導] 由于點(1,0)不在曲線y＝x3上，故點(1,0)不是切點，因此應設直線與曲線y＝x3相切于點(x0，x)，通過直線與y＝x3相切求得切點坐標，然后再求a的值．
[解析] 設過(1,0)的直線與y＝x3相切于點(x0，x)，所以切線方程為y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切線上，則x0＝0或x0＝，當x0＝0時，由y＝0與y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，當x0＝時，由y＝x－與y＝
9、ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以選A.
[答案] A
[名師點評] 1.如果審題不仔細，未對點(1,0)的位置進行判斷，誤認為(1,0)是切點，則易誤選B.
2．解決與導數(shù)的幾何意義有關的問題時， 應重點注意以下幾點：
(1)首先確定已知點是否為曲線的切點是解題的關鍵；
(2)基本初等函數(shù)的導數(shù)和導數(shù)運算法則是正確解決此類問題的保證；
(3)熟練掌握直線的方程與斜率的求解是正確解決此類問題的前提．
已知曲線f(x)＝2x3－3x，過點M(0,32)作曲線f(x)的切線，則切線的方程為________________．
解析：設切點坐標為N(x0,2x－3x0)，由導數(shù)的幾何意義知切線的斜率k就是切點處的導數(shù)值，而f′(x)＝6x2－3，則切線的斜率k＝f′(x0)＝6x－3，所以切線方程為y＝(6x－3)x＋32.又點N在切線上，所以有2x－3x0＝(6x－3)x0＋32，解得x0＝－2.故切線方程為y＝21x＋32.
答案：y＝21x＋32
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高考數(shù)學復習：第九章 ：第一節(jié)變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
