知識(shí)講解 二項(xiàng)式定理(理)(提高)110

真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。 二項(xiàng)式定理 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解并掌握二項(xiàng)式定理，了解用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的方法． 2．會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題． 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理 1.定義 一般地,對(duì)于任意正整數(shù),都有： ()， 這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理， 等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。 式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：， 其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)， 2．二項(xiàng)式(a+b)n的展開式的特點(diǎn)： (1)項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1； (2)二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中； (3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n； 3.兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式： ①() ② 要點(diǎn)二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)： （） 公式特點(diǎn)： ①它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是； ②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同； ③a與b的次數(shù)之和為n。 要點(diǎn)詮釋： （1）二項(xiàng)式(a+b)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和(b+a)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的a和b是不能隨便交換位置的． （2）通項(xiàng)是針對(duì)在(a+b)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a－b)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把－b看成b代入二項(xiàng)式定理）。 要點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì) 1.楊輝三角和二項(xiàng)展開式的推導(dǎo)。 2 / 25 在我國南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)。 展開式中的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng)依次取1,2,3,…時(shí),如下表所示: ………………………………………1 1 ……………………………………1 2 1 …………………………………1 3 3 1 ………………………………1 4 6 4 1 ……………………………1 5 10 10 5 1 …………………………1 6 15 20 15 6 1 …… …… …… 上表叫做二項(xiàng)式系數(shù)的表, 也稱楊輝三角(在歐洲,這個(gè)表叫做帕斯卡三角),反映了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和。 用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數(shù)的意義：為了得到(a+b)n展開式中的系數(shù)，可以考慮在這n個(gè)括號(hào)中取r個(gè)b，則這種取法種數(shù)為，即為的系數(shù)． 2.的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)： ①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即； ②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且最大. ③各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即； ④二項(xiàng)展開式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和， 即。 要點(diǎn)詮釋： 二項(xiàng)式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別 二項(xiàng)展開式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不一定相等。 如(a－b)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是，在這里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)都是，但項(xiàng)的系數(shù)是，可以看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念． 3.展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且） 如：展開式中含的系數(shù)為 要點(diǎn)詮釋： 三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開式問題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決。 要點(diǎn)四：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 1.求展開式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)（或其系數(shù)）. 2.利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。 二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對(duì)于任意的a，b，該等式都成立。 利用賦值法（即通過對(duì)a、b取不同的特殊值）可解決與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問題時(shí)要避免漏項(xiàng)等情況。 設(shè) (1) 令x=0，則 (2)令x=1，則 (3)令x=－1，則 (4) (5) 3.利用二項(xiàng)式定理證明整除問題及余數(shù)的求法： 如：求證：能被64整除（） 4.證明有關(guān)的不等式問題： 有些不等式，可應(yīng)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項(xiàng)展開式中的某些正項(xiàng)適當(dāng)刪去(縮小)，或把某些負(fù)項(xiàng)刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行證明。①；②；（） 如：求證： 5.進(jìn)行近似計(jì)算： 求數(shù)的次冪的近似值時(shí)，把底數(shù)化為最靠近它的那個(gè)整數(shù)加一個(gè)小數(shù)(或減一個(gè)小數(shù))的形式。 當(dāng)充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值： ①；②； 如：求的近似值，使結(jié)果精確到0.01； 【典型例題】 類型一、求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù) 例1. 求的二項(xiàng)式的展開式． 【思路點(diǎn)撥】 按照二項(xiàng)式的展開式或按通項(xiàng)依次寫出每一項(xiàng)，但要注意符號(hào)． 【解析】 （1）解法一： 解法二： 。 【總結(jié)升華】 記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a+b)n的展開式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件，對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開會(huì)更簡(jiǎn)捷． 舉一反三： 【變式】求的二項(xiàng)式的展開式． 【答案】先將原式化簡(jiǎn)。再展開． 例2．試求： （1）(x3－)5的展開式中x5的系數(shù)； （2）(2x2－)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)； 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件求出二項(xiàng)式的指數(shù)n，然后再求展開式中含x的項(xiàng)．因?yàn)轭}中條件和求解部分都涉及指定項(xiàng)問題，故選用通項(xiàng)公式． 【解析】（1）Tr＋1＝ 依題意15－5r＝5，解得r＝2 故(－2)2＝40為所求x5的系數(shù) （2）Tr＋1＝(2x2)6-r＝(－1)r26-r 依題意12－3r＝0，解得r＝4 故22＝60為所求的常數(shù)項(xiàng)． 【總結(jié)升華】 1.利用通項(xiàng)公式求給定項(xiàng)時(shí)避免出錯(cuò)的關(guān)鍵是弄清共有多少項(xiàng),所求的是第幾項(xiàng),相應(yīng)的是多少； 2. 注意系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別； 3. 在求解過程中要注意冪的運(yùn)算公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。 舉一反三： 【變式1】求的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)及的系數(shù). 【答案】，； 通項(xiàng)， ∵，∴， 故展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)為， 的系數(shù)為. 【變式2】求的展開式中的第4項(xiàng). 【答案】； 。 【變式3】（1）求的展開式常數(shù)項(xiàng)； （2）求的展開式的中間兩項(xiàng) 【答案】∵， ∴（1）當(dāng)時(shí)展開式是常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為； （2）的展開式共項(xiàng)，它的中間兩項(xiàng)分別是第項(xiàng)、第項(xiàng)， ， 例3． 求二項(xiàng)式的展開式中的有理項(xiàng)． 【思路點(diǎn)撥】 展開式中第r+1項(xiàng)為，展開式中的有理項(xiàng)，就是通項(xiàng)中x的指數(shù)為正整數(shù)的項(xiàng)． 【解析】 設(shè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)為， 令，即r=0，2，4，6，8時(shí)，。 ∴， ， ， ， 。 ∴二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng)：；有理項(xiàng)是第1項(xiàng)：x20，第3項(xiàng)：，第5項(xiàng)：，第7項(xiàng)：，第9項(xiàng)：． 【總結(jié)升華】 求有理項(xiàng)是對(duì)x的指數(shù)是整數(shù)情況的討論，要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號(hào)的要求． 舉一反三： 【變式】如果在 的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)。 【答案】（1）展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1， ，， 由題意得：2=1+得=8。 設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8。 有理項(xiàng)為。 類型二、 二項(xiàng)式之積及三項(xiàng)式展開問題 例4．求的展開式中的系數(shù). 【思路點(diǎn)撥】 將變形為，要使兩個(gè)因式的乘積中出現(xiàn)，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)可以分類討論：當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)該為 ；當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)該為；當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)該為；也可以利用通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)解答。 【解析】 解法一： ， 的通項(xiàng)公式（）， 分三類討論： （1）當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)該為，即； （2）當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)該為，即； （3）當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)該為，即； 故展開式中的系數(shù)為。 解法二： 的通項(xiàng)公式（）， 的通項(xiàng)公式,（）， 令,則或或， 從而的系數(shù)為。 　舉一反三： 【變式1】求的展開式中的系數(shù). 【答案】； 的通項(xiàng)公式（）， 分二類討論： （1）當(dāng)前一個(gè)因式為1時(shí)，后面的應(yīng)該為，即； （2）當(dāng)前一個(gè)因式為時(shí)，后面的應(yīng)該為，即； 故展開式中的系數(shù)為。 【變式2】在(1＋x)5(1-x)4的展開式中，x3的系數(shù)為________． 【答案】 (1＋x)5(1-x)4＝(1＋x)(1-x2)4，其中(1-x2)4展開的通項(xiàng)為(-x2)r， 故展開式中x3的系數(shù)為＝-4． 例5. 求(1+x+x2)8展開式中x5的系數(shù)． 【思路點(diǎn)撥】要把上式展開，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開 【解析】 解法一：(1+x+x2)8=[1+(x+x2)]8，所以，則x5的系數(shù)由(x+x2)r來決定，，令r+k=5，解得或或。 含x5的系數(shù)為。 解法二： ， 則展開式中含x5的系數(shù)為。 解法三：(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)…(1+x+x2)（共8個(gè)），這8個(gè)因式中乘積展開式中形成x5的來源有三： （1）有2個(gè)括號(hào)各出1個(gè)x2，其余6個(gè)括號(hào)恰有1個(gè)括號(hào)出1個(gè)x，這種方式共有種； （2）有1個(gè)括號(hào)出1個(gè)x2，其余7個(gè)括號(hào)中恰有3個(gè)括號(hào)各出1個(gè)x，共有種； （3）沒有1個(gè)括號(hào)出x2，恰有5個(gè)括號(hào)各給出1個(gè)x，共有種．所以x5的系數(shù)是 ． 【總結(jié)升華】 高考題中，常出現(xiàn)三項(xiàng)式展開或兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開問題，所用解法一般為二項(xiàng)式定理展開，或?qū)⑷?xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式． 舉一反三： 【變式1】的展開式中的常數(shù)項(xiàng). 【答案】∵ = ∴ 所求展開式中的常數(shù)項(xiàng)是-＝－20 【變式2】在(1+x+px2)10的展開式中，試求使x4的系數(shù)為最小值時(shí)p的值． 【答案】由通項(xiàng)， 又(1+px)r的通項(xiàng)為。 ∴。 而m+r=4，且0≤m≤r≤10。 ∴，或，或。 ∴x4的系數(shù)為 。 ∴僅當(dāng)p=－4時(shí)，x4的系數(shù)為最小。 類型三：有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算的問題 例6. （1）求(1+2x)7展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)； （2）求(1－2x)7展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。 【思路點(diǎn)撥】 利用展開式的通項(xiàng)，得到系數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最大值。 【解析】 （1）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有 即， 解得，即，∴r=5。 ∴系數(shù)最大的項(xiàng)為。 （2）展開式共有8項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得。又因(1－2x)7括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)中后項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值大于前項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值，故系數(shù)最大的項(xiàng)必在中間或偏右，故只需要比較T5和T7兩項(xiàng)系數(shù)大小即可， ， 所以系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)，。 【總結(jié)升華】求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是解一個(gè)不等式組。 舉一反三： 【變式】設(shè)展開式的第10項(xiàng)系數(shù)最大，求n. 【答案】展開式的通項(xiàng)為 ∴ ∵第10項(xiàng)系數(shù)最大， 又∵ ∴n=13或n=14 【變式2】 已知的展開式中第五、六、七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。 【答案】 因?yàn)?，所以? 即n2－21n+98=0，解得n=14或7。 當(dāng)n=14時(shí)，第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，。 當(dāng)n=7時(shí)，第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大， ，。 類型四、利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。 例7. 已知(1―2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求： （1）a1+a2+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|。 【思路點(diǎn)撥】求展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和常用賦值法 【解析】 令x=1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=―1 ①， 令x=―1，則a0―a1+a2―a3+a4―a5+a6―a7=37 ②， （1）因?yàn)閍0=（或令x=9，得a0=1），所以a1+a2+a3+…+a7=―2。 （2）由（①―②）2得。 （3）由（①+②）2得。 （4）方法一：因?yàn)?1―2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)―(a1+a3+a5+a7)=1093―(―1094)=2187。 方法二：|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|，即(1+2x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和，所以|a0|+|a1|+…+|a7|=37=2187。 【總結(jié)升華】 求展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和常用賦值法。 “賦值法”是解決二項(xiàng)式系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同的值。一般地，要使展開式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x=0可得常數(shù)項(xiàng)，令x=1可得所有項(xiàng)系數(shù)之和，令x= ―1可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次數(shù)系數(shù)之和的差，而當(dāng)二項(xiàng)展開式中含負(fù)值時(shí)，令x=―1則可得各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和。 舉一反三： 【變式1】已知，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）當(dāng)時(shí)，，展開式右邊為 ∴， 當(dāng)時(shí)，，∴， （2）令， ① 令， ② ①② 得：，∴ . （3）由展開式知：均為負(fù)，均為正， ∴由（2）中①+② 得：， ∴ ， ∴ 舉一反三： 【變式1】求值：. 【答案】 【變式2】設(shè)， 當(dāng)時(shí)，求的值 【答案】令得： ， ∴， 類型四、 二項(xiàng)式定理的綜合運(yùn)用 例8.求證：（）能被64整除. 【思路點(diǎn)撥】可將化成再進(jìn)行展開,化簡(jiǎn)即可證得. 【解析】∵ ∴ 故（）能被64整除。 【總結(jié)升華】利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行證明,需要多項(xiàng)式展開后的各項(xiàng)盡量多的含有的式子. 舉一反三： 【變式1】求證能被10整除 【答案】∵ ∴ 故能被10整除。 例9：當(dāng)且>1，求證 【解析】 從而 【總結(jié)升華】 用二項(xiàng)式定理證明不等式時(shí)，根據(jù)n的最小值，確定展開的最少項(xiàng)，然后分析具體情況確定其中有多少項(xiàng)即可． 舉一反三： 【變式】求證：，其中，，。 【答案】 ∵，∴， ∴。 例10. 求的近似值，使誤差小于0．001． 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)?，所以可以用二?xiàng)式定理來計(jì)算． 【解析】， ∵． 即第3項(xiàng)以后的項(xiàng)的絕對(duì)值都小于0.001， ∴從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)可以忽略不計(jì)， 即． 【總結(jié)升華】由知，當(dāng)x的絕對(duì)值與1相比很小且n足夠大時(shí)，，，…，等項(xiàng)的絕對(duì)值就會(huì)更小，因此在精確度允許的范圍之內(nèi)可以忽略不計(jì)．因此可以使用近似計(jì)算公式．在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問題對(duì)精確度的要求，來確定對(duì)展開式中各項(xiàng)的取舍． 舉一反三： 【變式】0.9915精確到0.01的近似值是 【答案】0.9915=(1-0.009)5= 溫馨提示：最好仔細(xì)閱讀后才下載使用，萬分感謝！