人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課后提升作業(yè) 十一 2.1.2.2 Word版含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 課后提升作業(yè) 十一 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.已知直線l過(guò)點(diǎn)(3,-1),且橢圓C:x225+y236=1,則直線l與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為　(　　) A.1個(gè)　　 B.1個(gè)或2個(gè)　　 C.2個(gè)　　 D.0個(gè) 【解析】選C.因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)(3,-1)且3225+(-1)236<1,所以點(diǎn)(3,-1)在橢圓的內(nèi)部,故直線l與橢圓有2個(gè)公共點(diǎn). 【補(bǔ)償訓(xùn)練】直線y=k(x-2)+1與橢圓x216+y29=1的位置關(guān)系是　(　　) A.相離　 B.相交　 C.相切　 D.無(wú)法判

2、斷 【解析】選B.直線y=k(x-2)+1過(guò)定點(diǎn)P(2,1),將P(2,1)代入橢圓方程,得416+19<1,所以P(2,1)在橢圓內(nèi)部,故直線與橢圓相交. 2.橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)到直線y=3x的距離是　(　　) A.12 B.32 C.1 D.3 【解析】選B.橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0),由點(diǎn)到直線的距離公式得d=33+1=32. 3.(2016·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))若直線y=x+6與橢圓x2+y2m2=1(m>0且m≠1)只有一個(gè)公共點(diǎn),則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為　(　　) A.1 B.5 C.2 D.25 【解析】選

3、D.由y=x+6,x2+y2m2=1,得(1+m2)x2+26x+6-m2=0,由已知Δ=24-4(1+m2)(6-m2)=0,解得m2=5,所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為25. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】直線y=x+m與橢圓x2144+y225=1有兩個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是　 (　　) A.(-5,5)　　　 B.(-12,12) C.(-13,13) D.(-15,15) 【解析】選C.聯(lián)立直線與橢圓方程,由判別式Δ>0,可得-13<m<13. 4.(2016·濟(jì)南高二檢測(cè))已知橢圓x23+y24=1的上焦點(diǎn)為F,直線x+y-1=0和x+y+1=0與橢圓分別

4、相交于點(diǎn)A,B和C,D,則|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=　(　　) A.23 B.43 C.4 D.8 【解析】選D.如圖,設(shè)F1為橢圓的下焦點(diǎn),兩條平行直線分別經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),連結(jié)AF1,BF1.由橢圓的對(duì)稱性可知,四邊形AFDF1為平行四邊形, 所以|AF1|=|FD|,同理|BF1|=|CF|,所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF| =|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8. 5.(2016·馬鞍山高二檢測(cè))已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,

5、若橢圓C的中心到直線AB的距離為66|F1F2|,則橢圓C的離心率e=　(　　) A.22 B.32 C.23 D.33 【解析】選A.設(shè)橢圓C的焦距為2c(c<a), 由于直線AB的方程為ay+bx-ab=0, 所以aba2+b2=63c, 因?yàn)閎2=a2-c2,所以3a4-7a2c2+2c4=0, 解得a2=2c2或3a2=c2(舍),所以e=22. 6.過(guò)點(diǎn)M-1,12的直線l與橢圓x2+2y2=2交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB中點(diǎn)為M,設(shè)直線l的斜率為k1(k1≠0).直線OM的斜率為k2,則k1k2的值為　(　　) A.2 B.-2 C.12

6、 D.-12 【解析】選D.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x12+2y12=2,① x22+2y22=2,② ②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0. 即y2-y1x2-x1=-x1+x22(y1+y2),所以k1=y2-y1x2-x1=--22×1=1, 而k2=12-0-1-0=-12,故k1k2=-12. 7.(2016·重慶高二檢測(cè))橢圓mx2+ny2=1與直線y=1-x交于M,N兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為22,則mn的值是　(　　) A.22 B.233 C.922

7、 D.2327 【解析】選A.聯(lián)立方程組可得y=1-x,mx2+ny2=1 (m+n)x2-2nx+n-1=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)P(x0,y0), 則x0=x1+x22=nm+n, y0=1-x0=1-nm+n=mm+n.所以kOP=y0x0=mn=22. 8.橢圓x216+y24=1上的點(diǎn)到直線x+2y-2=0的最大距離是　(　　) A.3 B.11 C.22 D.10 【解析】選D.設(shè)與直線x+2y-2=0平行的直線為x+2y+m=0,與橢圓聯(lián)立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m

8、2=0,得2y2+my-4+m24=0. Δ=m2-8m24-4=0,即-m2+32=0,所以m=±42.所以兩直線間距離最大是當(dāng)m=42時(shí), dmax=|2+42|5=10. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2016·天津高二檢測(cè))直線l交橢圓x216+y212=1于A,B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M(2,1),則l的方程為_(kāi)_______. 【解析】由點(diǎn)差法求出kAB=-32, 所以l的方程為y-1=-32(x-2). 化簡(jiǎn)得:3x+2y-8=0. 答案:3x+2y-8=0 【補(bǔ)償訓(xùn)練】直線y=x+1被橢圓x24+y22=1所截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為　

9、(　　) A.23,53　　　　 B.43,73 C.-23,13 D.-132,-172 【解析】選C.由y=x+1,x2+2y2=4消去y,得3x2+4x-2=0.設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-43,所以y1+y2=x1+x2+2=23.所以AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為-23,13. 10.(2016·邯鄲高二檢測(cè))過(guò)橢圓x25+y24=1的右焦點(diǎn)F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為_(kāi)_______. 【解析】由已知可得直線方程為y=2x-2,聯(lián)立方程x25+y24=1,y=2x-2得

10、交點(diǎn)坐標(biāo),不妨令A(yù)(0,-2), B53,43,所以S△AOB=12·|OF|·|yA-yB|=53. 答案:53 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍. (1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程. (2)過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn).若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率. 【解題指南】由動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo),根據(jù)已知條件列方程即可;設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得出k與x1,x2的關(guān)系式,利用中點(diǎn)坐標(biāo)即可得斜率. 【解析】(1)點(diǎn)M(x,y)到直線x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距

11、離的2倍,則|x-4|=2(x-1)2+y2x24+y23=1. 所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓,方程為x24+y23=1. (2)P(0,3),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知:2x1=0+x2,2y1=3+y2,橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,3)和(0,-3),經(jīng)檢驗(yàn)直線m不經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn),即直線m斜率k存在.設(shè)直線m的方程為:y=kx+3.聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得: (3+4k2)x2+24kx+24=0x1+x2=-24k3+4k2,x1·x2=243+4k2,x1x2+x2x1=12+2(x1+x2)2-2x1·x2x1·x2=52(-24k

12、)2(3+4k2)·24=92k=±32, 所以直線m的斜率k=±32. 12.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m. (1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. (2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程. 【解析】(1)由題意得4x2+y2=1,y=x+m,消y整理得: 5x2+2mx+m2-1=0. 因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn), 所以Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2≥0, 所以-52≤m≤52. (2)設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 則由(1)得x1+x2=-2m5,x1x2=m2-15. 所以

13、|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·425m2-4(m2-1)5 =225-4m2+5.因?yàn)?52≤m≤52,所以0≤m2≤54, 所以當(dāng)m=0時(shí),|AB|取得最大值,此時(shí)直線方程為y=x,即x-y=0. 【延伸拓展】解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題常用的方法有以下幾種 (1)利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理. (2)利用數(shù)與形的結(jié)合,挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征,進(jìn)而求解. (3)利用函數(shù)的最值,將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理,此時(shí),應(yīng)注意橢圓中x,y的取值范圍,常常是化為閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來(lái)求解. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016

14、·池州高二檢測(cè))已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)連線的斜率的積為定值-2. (1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程. (2)設(shè)直線l:y=x+1與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求|MN|. 【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則依題意有yx+1·yx-1=-2, 整理得x2+y22=1,由于x≠±1, 所以求得的曲線C的方程為x2+y22=1(x≠±1). (2)由x2+y22=1,y=x+1,消去y得:3x2+2x-1=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-23,x1x2=-13, |MN|=2|x1-x2|=24

15、9-4-13=432. 【能力挑戰(zhàn)題】 已知△ABC的頂點(diǎn)A,B在橢圓x2+3y2=4上,C在直線l:y=x+2上,且AB∥l. (1)當(dāng)AB邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí),求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積. (2)當(dāng)∠ABC=90°,且斜邊AC的長(zhǎng)最大時(shí),求AB所在直線的方程. 【解析】(1)因?yàn)锳B∥l,且AB邊通過(guò)點(diǎn)(0,0), 所以AB所在直線的方程為y=x. 設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2), 由x2+3y2=4,y=x,得x=±1, 所以|AB|=2|x1-x2|=22, 又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離, 所以h=2,所以S△AB

16、C=12|AB|·h=2. (2)設(shè)AB所在直線方程為y=x+m. 由x2+3y2=4,y=x+m,得4x2+6mx+3m2-4=0. 因?yàn)锳,B在橢圓上,所以Δ=-12m2+64>0. 設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 則x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-44, 所以|AB|=2|x1-x2|=32-6m22. 又因?yàn)锽C的長(zhǎng)等于點(diǎn)(0,m)到直線l的距離,即|BC|=|2-m|2. 所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11. 所以當(dāng)m=-1時(shí),AC邊最長(zhǎng).(這時(shí)Δ=-12+64>0)此時(shí)AB所在直線方程為y=x-1. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊