人教版高中數學選修11：2.3 拋 物 線 課后提升作業(yè) 十七 2.3.2.2 Word版含解析

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1、（人教版）精品數學教學資料 課后提升作業(yè) 十七 拋物線方程及性質的應用 (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.(2016·大理高二檢測)過點(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線有　 (　　) A.1條 B.2條 C.3條 D.0條 【解析】選C.易知過點(0,1),斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線y2=4x只有一個公共點.當斜率存在時,設直線方程為y=kx+1,再與y2=4x聯立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,當k=0時,方程是一次方程,有一個解,滿足一個交點;當k≠0時,由Δ=0可得k值有一個,即

2、有一個公共點,所以滿足題意的直線有3條. 2.拋物線y2=3x關于直線y=x對稱的拋物線方程為　(　　) A.y2=13x B.x2=3y C.x2=13y D.y2=3x 【解題指南】利用點(x,y)關于y=x的對稱點為(y,x)進行求解. 【解析】選B.因為點(x,y)關于y=x的對稱點為(y,x),所以y2=3x關于y=x對稱的拋物線方程為x2=3y. 3.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是　(　　) A.43 B.75 C.85 D.3 【解析】選A.設拋物線y=-x2上一點為(m,-m2),該點到直線4x+3y-8

3、=0的距離為|4m-3m2-8|5,當m=23時,取得最小值為43. 【一題多解】選A.設與4x+3y-8=0平行的直線l方程為:4x+3y+m=0, 由y=-x2,4x+3y+m=0消去y得,3x2-4x-m=0, 由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-43. 所以l的方程為4x+3y-43=0. 因此拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是d=-8--4342+32=43. 4.(2016·成都高二檢測)拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準線上的動點,當△FPM為等邊三角形時,其面積為　(　　) A.23 B.4

4、 C.6 D.43 【解析】選D.根據題意知,△FPM為等邊三角形, |PF|=|PM|=|FM|,所以PM⊥拋物線的準線. 設Pm24,m,則M(-1,m), 等邊三角形邊長為1+m24, 又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+m24=(1+1)2+m2, 得m=23, 所以等邊三角形的邊長為4,其面積為43. 5.(2015·全國卷Ⅰ)已知橢圓E的中心為坐標原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,點A,B是C的準線與E的兩個交點,則AB=　(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】選B.設橢圓E的方

5、程為x2a2+y2b2=1(a>b>0), 右焦點為(c,0),依題意得c=2,ca=12,解得a=4, 由b2=a2-c2=16-4=12, 所以橢圓E的方程為x216+y212=1, 因為拋物線C:y2=8x的準線為x=-2, 將x=-2代入到x216+y212=1, 解得A(-2,3),B(-2,-3),故AB=6. 6.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為　(　　) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 【解析】選B.設A(

6、x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得:y12=2px1?、?y22=2px2?、?①-②得, (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2). 又因為y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=2p4=p2=k=1,所以p=2. 所以所求拋物線的準線方程為x=-1. 7.(2016·蘭州高二檢測)斜率為1,過拋物線y=14x2的焦點的直線被拋物線所截得的弦長為　(　　) A.8 B.6 C.4 D.10 【解析】選A.設弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2), 易知直線方程為y=x+1, 直線方程與拋物線方程聯立,消元得:14x2-x

7、-1=0, 所以x1+x2=4,x1x2=-4, 所以弦長l=2(x1+x2)2-4x1x2=8. 8.(2016·商丘高二檢測)已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動弦AB,則AB的中點到x軸的最短距離為　(　　) A.34 B.32 C.1 D.2 【解析】選D.由題意知,拋物線的準線l:y=-1, 過A作AA1⊥l于A1,過B作BB1⊥l于B1, 設弦AB的中點為M,過M作MM1⊥l于M1, 則|MM1|=|AA1|+|BB1|2. |AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點), 即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,

8、 2|MM1|≥6,|MM1|≥3, 故M到x軸的距離d≥2. 【拓展延伸】“兩看兩想”的應用 　　與拋物線有關的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑. 【補償訓練】已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為　(　　) A.172　　 B.3　　 C.5　　 D.92 【解析】選A.拋物線y2=2x的焦點為F12,0,準線是l,由拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于它到準線l的距離,因此要求點P到點(0,2)的距離與點P到拋物線

9、的準線的距離之和的最小值,可以轉化為求點P到點(0,2)的距離與點P到焦點F的距離之和的最小值,不難得出相應的最小值就等于焦點F到點(0,2)的距離.因此所求的最小值等于122+(-2)2=172. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2016·臨沂高二檢測)直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k=________. 【解析】當k=0時,直線與拋物線有唯一交點,當k≠0時,聯立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0, 由題意Δ=16(k-2)2-16k2=0,所以k=1. 答案:0或1 10.拋物線y2=x上的點到直線x-2y+3=0的距離

10、最短的點的坐標是________. 【解析】設與直線x-2y+3=0平行的直線方程為x-2y+m=0,與拋物線方程y2=x聯立成方程組x-2y+m=0,y2=x,消去x得y2-2y+m=0,令Δ=(-2)2-4m=0,解得m=1,代入y2-2y+m=0中得y2-2y+1=0,解得y=1,把y=1代入y2=x中,解得x=1,則所求點的坐標是(1,1). 答案:(1,1) 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.(2016·寧波高二檢測)已知拋物線C:y2=4x,F是拋物線C的焦點,過點F的直線l與C相交于A,B兩點,O為坐標原點. (1)如果l的斜率為1,求以AB為直徑的

11、圓的方程. (2)設|FA|=2|BF|,求直線l的方程. 【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2). (1)因為y2=4x,所以F(1,0), 又因為直線l的斜率為1, 所以直線l的方程為y=x-1, 代入y2=4x,得x2-6x+1=0, 由根與系數的關系得x1+x2=6,x1·x2=1,易得AB的中點, 即圓心的坐標為(3,2), 又|AB|=x1+x2+p=8, 所以圓的半徑r=4, 所以所求的圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16. (2)因為|FA|=2|BF|,所以FA→=2BF→, 而FA→=(x1-1,y1),BF→=(1-x2,-

12、y2), 所以x1-1=2(1-x2),y1=-2y2, 易知直線l的斜率存在,設直線l的斜率為k, 則直線l的方程為y=k(x-1), 代入y2=4x, 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 由根與系數的關系得x1+x2=2k2+4k2,x1·x2=1, 因為x1-1=2(1-x2), 所以x1=1,x2=1或x1=2,x2=12,所以k=±22, 所以直線l的方程為y=±22(x-1). 【補償訓練】已知頂點在原點,焦點在x軸的負半軸的拋物線截直線y=x+32所得的弦長|P1P2|=42,求此拋物線的方程. 【解析】設拋物線方程為y2

13、=-2px(p>0), 把直線方程與拋物線方程聯立得y=x+32,y2=-2px,消元得x2+(3+2p)x+94=0①, 判別式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0, 解得p>0或p<-3(舍去), 設P1(x1,y1),P2(x2,y2), 則①中由根與系數的關系得x1+x2=-(3+2p), x1·x2=94, 代入弦長公式得1+1·(3+2p)2-9=42, 解得p=1或p=-4(舍去), 把p=1代入拋物線方程y2=-2px(p>0)中, 得y2=-2x. 綜上,所求拋物線方程為y2=-2x. 12.過拋

14、物線y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0≠0)分別作斜率為-k和k的直線l1, l2,設l1, l2與拋物線y2=2px交于A,B兩點,證明直線AB的斜率為定值. 【證明】設A(x1,y1),B(x2,y2), 由y2=2px,y-y0=k(x-x0)消去x得 y2-2pky+2py0k-2px0=0, 由根與系數的關系得y0+y1=2pk, 所以y1=2pk-y0.① 同理y0+y2=-2pk,所以y2=-2pk-y0.② 由①,②得y1+y2=-2y0, 所以kAB=y2-y1x2-x1=y2-y1y222p-y122p=2py1+y2=-py0,

15、即直線AB的斜率為定值. 【能力挑戰(zhàn)題】 已知拋物線方程為y2=-2px,其準線方程為x=14,直線l:y=k(x+1)與拋物線交于A,B兩個不同的點,O為坐標原點. (1)求證:OA⊥OB. (2)當△OAB的面積等于5時,求k的值. 【解析】(1)因為拋物線y2=-2px的準線方程為x=14,所以p2=14,得p=12, 即拋物線的方程為y2=-x,聯立y=k(x+1), 消去x后,整理得:ky2+y-k=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 由根與系數的關系得:y1+y2=-1k,y1y2=-1, 因為A,B兩點在拋物線y2=-x上, 所以y12=-x1,y22=-x2,y12·y22=x1·x2, 所以kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=-1, 所以OA⊥OB. (2)設直線l與x軸交于N,由題意可得k≠0, 令y=0,則x=-1,即N(-1,0), 因為S△OAB=S△OAN+S△OBN=12|ON|y1+12|ON|y2 =12×1×|y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2 =12-1k2+4=5, 所以k=-14或k=14. 關閉Word文檔返回原板塊