人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.3 拋 物 線 課后提升作業(yè) 十六 2.3.2.1 Word版含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 課后提升作業(yè) 十六 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.(2015·陜西高考)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為　(　　) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 【解析】選B.因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),所以p2=1,所以該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0). 2.經(jīng)過(guò)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x-2y+5=0的直線l的方程是　(　　) A.6x-4y-3

2、=0 B.3x-2y-3=0 C.2x+3y-2=0 D.2x+3y-1=0 【解析】選A.設(shè)直線l的方程為3x-2y+c=0,拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F12,0, 所以3×12-2×0+c=0, 所以c=-32,故直線l的方程是6x-4y-3=0. 3.(2016·衡水高二檢測(cè))若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓x26+y22=1的右焦點(diǎn)重合,則p的值為　(　　) A.-2 B.2 C.-4 D.4 【解析】選D.橢圓x26+y22=1的右焦點(diǎn)為(2,0), 所以p2=2,所以p=4. 4.(2016·武

3、漢高二檢測(cè))已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為　(　　) A.-43 B.-1 C.-34 D.-12 【解析】選C.因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px的準(zhǔn)線為x=-p2,且點(diǎn)A(-2,3)在準(zhǔn)線上,故-p2=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),這時(shí)直線AF的斜率kAF=3-0-2-2=-34. 5.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線y=2x-4與C交于A,B兩點(diǎn),則cos∠AFB=　 (　　) A.45 B.35 C.-35 D.-45 【解析】選D.由y2=4x,y=

4、2x-4得x2-5x+4=0, 所以x=1或x=4.不妨設(shè)A(4,4),B(1,-2), 則|FA→|=5,|FB→|=2,FA→·FB→=(3,4)·(0,-2)=-8, 所以cos∠AFB=FA→·FB→|FA→|·|FB→|=-85×2=-45. 6.已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直, l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則△ABP的面積為　(　　) A.18 B.24 C.36 D.48 【解析】選C.如圖所示,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0). 因?yàn)楫?dāng)x=p2

5、時(shí),|y|=p,所以p=|AB|2=122=6. 又P到AB的距離始終為p,所以S△ABP=12×12×6=36. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,則y0的取值范圍是　(　　) A.(0,2)　　　　　　　B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 【解析】選C.因?yàn)閤2=8y,所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.由拋物線的定義知|FM|=y0+2. 以F為圓心、|FM|為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=(y0+2)2. 由于

6、以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交, 又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4,故4<y0+2, 所以y0>2. 7.(2016·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】選B.以開(kāi)口向右的拋物線為例來(lái)解答，其他開(kāi)口同理可得. 設(shè)拋物線為y2=2px(p>0)，設(shè)圓的方程為x2+y2=r2，題目條件翻譯如圖： 設(shè) 點(diǎn)A(x0,2)在拋物線y2=2px上，所以8=2px0.① 點(diǎn)D在圓x2+y2=

7、r2上，所以5+=r2.② 點(diǎn)A(x0,2)在圓x2+y2=r2上，所以x02+8=r2.③ 聯(lián)立①②③解得：p=4，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=4． 8.(2016·天津高二檢測(cè))若拋物線x2=2y上距離點(diǎn)A(0,a)的最近點(diǎn)恰好是拋物線的頂點(diǎn),則a的取值范圍是　(　　) A.a>0 B.0<a≤1 C.a≤1 D.a≤0 【解析】選C.設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則 |PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1). 因?yàn)閥∈[0,+∞),根據(jù)題意知, (1

8、)當(dāng)a-1≤0,即a≤1,y=0時(shí),dmin2=a2.這時(shí)dmin=|a|. (2)當(dāng)a-1>0,即a>1時(shí),y=a-1時(shí)d2取到最小值,不符合題意. 綜上可知a≤1. 【易錯(cuò)警示】忽視了y的取值范圍是[0,+∞),只想到當(dāng)點(diǎn)在y軸負(fù)半軸時(shí),d最小,導(dǎo)致錯(cuò)選D,或胡亂猜測(cè)以致錯(cuò)選B. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.以雙曲線x24-y25=1的中心為頂點(diǎn),且以該雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程為_(kāi)_______. 【解析】由x24-y25=1知a2=4,b2=5, 所以c2=a2+b2=9,雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0), 依題意,拋物線的焦點(diǎn)F(3,0),

9、p2=3, 所以p=6,所以拋物線的方程為y2=12x. 答案:y2=12x 10.(2016·長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上射影是M,點(diǎn)A(4,6),則|PA|+|PM|的最小值是________. 【解題指南】將P到y(tǒng)軸的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離,當(dāng)A,P,F共線時(shí),|PA|+|PM|最小. 【解析】由y2=4x,得p=2, 所以焦點(diǎn)F(1,0),如圖, |PM|=|PN|-p2=|PF|-1, 所以|PA|+|PM| =|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=(4-1)2+(6-0)2-1=35-1. 答案:35-1

10、【補(bǔ)償訓(xùn)練】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn),且 ∠AFO=120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),AK⊥l,垂足為K,則△AKF的面積是________. 【解析】如圖,設(shè)A(x0,y0),過(guò)A作AH⊥x軸于H, 在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120°,得∠AFH=60°, 故y0=|AH|=3(x0-1).所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,3(x0-1)), 將此代入拋物線方程可得3x02-10x0+3=0, 解得x0=3或x0=13(舍), 故S△AKF=12×(3+1)×23=43. 答案:43

11、 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解題指南】由雙曲線離心率求得其漸近線方程,從而求得交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),即可得到三角形面積表達(dá)式,從而得到p的值,進(jìn)而寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解析】由已知得ca=2,所以a2+b2a2=4,解得ba=3, 即漸近線方程為y=±3x. 而拋物線準(zhǔn)線方程為x=-p2, 于是A-p2,-3p2,B-p2,3p2, 從而△AOB的

12、面積為12·3p·p2=3,可得p=2.因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向右,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x. 12.若直線l過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求線段AB的長(zhǎng). 【解析】因?yàn)閽佄锞€方程為y2=4x, 所以拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為:x=-1, 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(2,y0), 則M到準(zhǔn)線的距離為:|MN|=2-(-1)=3,過(guò)A,B分別作AC,BD與準(zhǔn)線垂直,垂足分別為C,D.根據(jù)梯形中位線定理,可得|AC|+|BD|=2|MN|=6.再由拋物線的定義知:|AF|=|AC|,|BF|=|BD|. 所以|AB|=

13、|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=6. 即線段AB的長(zhǎng)為6. 【能力挑戰(zhàn)題】 已知拋物線C:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,拋物線C上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3,且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為5. (1)求拋物線C的方程. (2)若P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),求線段FP的中點(diǎn)M的軌跡方程. 【解析】(1)由題意得,3+p2=5,所以p=4, 所以拋物線的方程為y2=8x. (2)由(1)知F(2,0),設(shè)P(x0,y0),M(x,y), 則x=x0+22,y=y02,即x0=2x-2,y0=2y, 而點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線C上,y02=8x0, 所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1), 此即為所求點(diǎn)M的軌跡方程. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊