人教版高中數(shù)學(xué)選修11：3.2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 課后提升作業(yè) 二十 3.2.1 Word版含解析

（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 課后提升作業(yè) 二十 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.(2016·麗江高二檢測(cè))函數(shù)f(x)=x,則f′(3)等于　(　　) A.36 B.0 C.12x D.32 【解析】選A.因?yàn)閒′(x)=(x)′=12x, 所以f′(3)=123=36. 【規(guī)律總結(jié)】求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)等于f′(x)在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值.在求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)可以先利用導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù),再將x0代入導(dǎo)函數(shù)求解,不能先代入后求導(dǎo). 2.若y=lnx,則其圖象在x=2處的切線斜率是　(　　) A.1 B.0 C.2 D.12 【解析】選D.因?yàn)閥′=1x, 所以當(dāng)x=2時(shí),y′=12, 故圖象在x=2處的切線斜率為12. 3.已知函數(shù)f(x)=x3的切線的斜率等于3,則切線有　(　　) A.1條 B.2條 C.3條 D.不確定 【解析】選B.因?yàn)閒′(x)=3x2=3, 解得x=±1. 切點(diǎn)有兩個(gè),即可得切線有兩條. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】若曲線y=x3+x-2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線4x-y+1=0,則點(diǎn)P0的一個(gè)坐標(biāo)是　(　　) A.(0,-2)　　　　 B.(1,1) C.(-1,-4) D.(1,4) 【解析】選C.因?yàn)閥′=3x2+1=4,所以x=±1, 所以y=0或-4, 所以P0的坐標(biāo)為(1,0)或(-1,-4). 4.給出下列四個(gè)導(dǎo)數(shù)式: ①(x4)′=4x3;②(2x)′=2xln2;③(lnx)′=-1x;④1x′=1x2. 其中正確的導(dǎo)數(shù)式共有　(　　) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 【解析】選A.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式求導(dǎo),再判斷即可. ①(x4)′=4x3;②(2x)′=2xln2;③(lnx)′=1x; ④1x′=-1x2,故①②正確. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列各式中正確的是　(　　) A.(lnx)′=x　　　　　 B.(cosx)′=sinx C.(sinx)′=cosx D.(x-8)′=-18x-9 【解析】選C.因?yàn)?lnx)′=1x,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-8x9,所以A,B,D均不正確,C正確. 5.(2016·南寧高二檢測(cè))質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是s=5t,則質(zhì)點(diǎn)在t=4時(shí)的速度為　(　) A.12523 B.110523 C.25523 D.110523 【解析】選B.s′=15t -45. 當(dāng)t=4時(shí),s′=15·1544=110523. 6.函數(shù)y=ex在點(diǎn)(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為　(　　) A.94e2 B.2e2 C.e2 D.e22 【解析】選D.因?yàn)閥′|x=2=e2, 所以切線方程為y-e2=e2(x-2). 當(dāng)x=0時(shí),y=-e2, 當(dāng)y=0時(shí),x=1. 故切線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為12×|-e2|×1=e22. 7.(2016·福州高二檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)=logax,f′(1)=-1,則a=　(　　) A.3 B.2 C.1e D.e 【解析】選C.因?yàn)閒′(x)=1xlna, 所以f′(1)=1lna=-1. 所以lna=-1.所以a=1e. 8.(2016·寶雞高二檢測(cè))已知直線y=kx是曲線y=ex的切線,則實(shí)數(shù)k的值 為　(　　) A.1e B.-1e C.-e D.e 【解析】選D.設(shè)切點(diǎn)為(x0,ex0).y′=ex, 當(dāng)x=x0時(shí),y′=ex0, 所以過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y-ex0=ex0(x-x0), 即y=ex0x+(1-x0)ex0, 又y=kx是切線, 所以k=ex0,(1-x0)ex0=0,所以x0=1,k=e. 【延伸探究】若將本題中的曲線“y=ex”改為“y=lnx”,則實(shí)數(shù)k=　(　　) A.1e　　 B.-1e　　 C.-e　　 D.e 【解析】選A.設(shè)切點(diǎn)為(x0,lnx0).y′=1x, 當(dāng)x=x0時(shí),y′=1x0, 所以過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y-lnx0=1x0(x-x0), 即y=1x0x+lnx0-1, 所以lnx0-1=0,k=1x0,所以x0=e,k=1e. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2016·興義高二檢測(cè))設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lgxn,則a1+a2+…+a99的值為　　　　. 【解析】y′=(n+1)xn,曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,得xn=nn+1. an=lgxn=lgnn+1=lgn-lg(n+1), 則a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2. 答案:-2 10.(2016·廣州高二檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=lnx在x=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線與直線ax-y+3=0垂直,則實(shí)數(shù)a的值為　　　. 【解析】因?yàn)閥=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1x, 即曲線y=lnx在x=e處的切線斜率為k=1e, 由于切線與直線ax-y+3=0垂直,則a·1e=-1, 解得a=-e. 答案:-e 【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=lnx的圖象在x=1處的切線方程是　　　　. 【解析】f′(x)=1x,f′(1)=1,所以切點(diǎn)為(1,0),根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程:y=x-1. 答案:y=x-1 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=x8.　(2)y=1x4.　(3)y=3x. (4)y=2x.　(5)y=log2x.　(6)y=cosπ2-x. 【解題指南】(1)利用冪函數(shù)公式求導(dǎo).(2)轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)求導(dǎo).(3)轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)求導(dǎo).(4)利用指數(shù)函數(shù)求導(dǎo).(5)利用對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo).(6)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo). 【解析】(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7. (2)y′=1x4′=(x-4)′=-4x-5. (3)y′=(3x)′=(x13)′=13x13-1=13x-23. (4)y′=(2x)′=2xln2. (5)y′=(log2x)′=1xln2. (6)因?yàn)閥=cosπ2-x=sinx, 所以y′=(sinx)′=cosx. 【規(guī)律總結(jié)】 1.公式記憶:對(duì)于公式(ax)′=axlna與(logax)′=1xlna記憶較難,又易混淆,要注意區(qū)分公式的結(jié)構(gòu)特征,既要從縱的方面(lnx)′與(logax)′和(ex)′與(ax)′區(qū)分,又要從橫的方面(logax)′與(ax)′區(qū)分,找出差異記憶公式. 2.求導(dǎo)注意點(diǎn): (1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時(shí)不需對(duì)公式說(shuō)明,掌握這些公式的基本結(jié)構(gòu)和變化規(guī)律直接應(yīng)用即可. (2)需要根據(jù)所給函數(shù)的特征,恰當(dāng)?shù)剡x擇公式. (3)對(duì)一些函數(shù)求導(dǎo)時(shí),要弄清一些函數(shù)的內(nèi)部關(guān)系,合理轉(zhuǎn)化后再求導(dǎo),如y=3x2,y=1x3,可以轉(zhuǎn)化為y=x23,y=x-3后再求導(dǎo). 【補(bǔ)償訓(xùn)練】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=a2(a為常數(shù)). (2)y=x12. (3)y=x-5. (4)y=lgx. 【解析】(1)因?yàn)閍為常數(shù),所以a2為常數(shù),所以y′=(a2)′=0. (2)y′=(x12)′=12x11. (3)y′=(x-5)′=-5x-6=-5x6. (4)y′=(lgx)′=1xln10. 12.(2016·煙臺(tái)高二檢測(cè))求過(guò)曲線y=cosx上點(diǎn)Pπ3,12且與在這點(diǎn)的切線垂直的直線方程. 【解析】因?yàn)閥=cosx,所以y′=-sinx, 曲線在點(diǎn)Pπ3,12處的切線斜率是 y′|x=π3=-sinπ3=-32. 所以過(guò)點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為23, 所以所求的直線方程為y-12=23x-π3, 即2x-3y-2π3+32=0. 【誤區(qū)警示】已知與曲線上某點(diǎn)的切線垂直這一條件具有雙重含義:一是所求直線與切線垂直;二是所求直線也過(guò)此點(diǎn).在確定與切線垂直的直線方程時(shí),應(yīng)注意函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)y′是否為零,當(dāng)y′=0時(shí)切線平行或重合于x軸,過(guò)切點(diǎn)P垂直于切線的直線斜率不存在. 【能力挑戰(zhàn)題】 已知直線x-2y-4=0與拋物線y2=x相交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),試在拋物線的弧AOB上求一點(diǎn)P,使△ABP的面積最大,并求最大值. 【解題指南】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)是注意到|AB|是定值,通過(guò)圖形分析使△ABP的面積最大,只需點(diǎn)P到AB的距離最大,即點(diǎn)P是拋物線的平行于AB的切線的切點(diǎn). 【解析】設(shè)P(x0,y0),過(guò)點(diǎn)P作與AB平行的直線為l, 如圖, 設(shè)直線x-2y-4=0與拋物線y2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立方程組,得x-2y-4=0,y2=x 得x2-12x+16=0,x1+x2=12,x1x2=16, 所以|AB|=1+k2|x1-x2| =1+14(x1+x2)2-4x1x2=52144-64=10, 要使△ABP的面積最大,只要點(diǎn)P到AB的距離最大,而P點(diǎn)是拋物線的弧AOB上的一點(diǎn),因此點(diǎn)P是拋物線上平行于直線AB的切線的切點(diǎn), 由圖知點(diǎn)P在x軸上方,y=x,y′=12x, 由題意知kAB=12.所以kl=12x0=12,即x0=1, 所以y0=1.所以P(1,1). 又點(diǎn)P到直線AB的距離d=|1-2-4|1+4=55=5, 所以S△PAB=12×|AB|·d=12×10×5=55. 故所求點(diǎn)為P(1,1),△ABP的面積最大值為55. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊