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1、
跟蹤強化訓練(十九)
1．(20xx沈陽質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，首項a1＝1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由已知得，a＝a1a4，
即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.
又d≠0，∴d＝1，可得an＝n.
(2)由(1)得bn＝n＋2n，
∴Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…
2、＋2n)
＝＋2n＋1－2.
[解] (1)由題意得，解得
當n≥2時，Sn－1＝(n－1)an－(n－1)n，
所以an＝nan＋1－n(n＋1)－(n－1)an＋(n－1)n，
即an＋1－an＝2.
又a2－a1＝2，因而數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
從而an＝2n－1.
Tn＝121＋322＋523＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，
2Tn＝122＋323＋524＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.
兩式相減得
－Tn＝121＋222＋223＋…＋22n－(2n－1)2n＋1
＝－2＋2(21＋22＋23＋…＋2n
3、)－(2n－1)2n＋1
＝－2＋2－(2n－1)2n＋1
＝－2＋2n＋2－4－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1.
所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.
3．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且首項a1≠3，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*)．
(1)求證：{Sn－3n}是等比數(shù)列；
(2)若{an}為遞增數(shù)列，求a1的取值范圍．
[解] (1)證明：∵an＋1＝Sn＋3n，(n∈N*)
∴Sn＋1＝2Sn＋3n，
∴Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∵a1≠3.
∴＝2，
∴數(shù)列{Sn－3n}是公比為2，首項為a1－3的等比數(shù)列．
(2)由(1)得Sn
4、－3n＝(a1－3)2n－1，∴Sn＝(a1－3)2n－1＋3n，
∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a1－3)2n－2＋23n－1，∵{an}為遞增數(shù)列，
∴n≥2時，(a1－3)2n－1＋23n>(a1－3)2n－2＋23n－1，∴n≥2時，
2n－2>0，
可得n≥2時，a1>3－12n－2，
又當n＝2時，3－12n－2有最大值為－9，
∴a1>－9，又a2＝a1＋3滿足a2>a1，
∴a1的取值范圍是(－9，＋∞)．
4．(20xx昆明模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，當n≥2時，an＝2anSn－2S.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)
5、是否存在正數(shù)k，使(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．
[解] (1)∵當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，an＝2anSn－2S，
∴Sn－Sn－1＝2(Sn－Sn－1)Sn－2S.
∴Sn－1－Sn＝2SnSn－1.
∴－＝2.
∴數(shù)列是首項為＝＝1，公差為2的等差數(shù)列，
即＝1＋(n－1)2＝2n－1.
∴Sn＝.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－
＝.
∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝
(2)設(shè)bn＝，
則bn＋1＝.
由(1)知Sn＝，Sn＋1＝，
∴＝＝
＝ >1.
又bn>0，∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列．
由(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k，得bn≥k.
∴k≤b1＝＝.
∴存在正數(shù)k，使(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k對一切正整數(shù)n都成立，且k的取值范圍為.
高三理科數(shù)學 二輪復習跟蹤強化訓練：19 Word版含解析
