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1、 精品資料
【金版學(xué)案】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形章末知識(shí)整合 蘇教版必修5
題型1 利用正、余弦定理解三角形
解答下列各題：
(1)在△ABC中，若A＝30，a＝，b＝2，求B；
(2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，求A.
分析：已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，根據(jù)問(wèn)題條件可能出現(xiàn)唯一解、兩解、無(wú)解的情況，解題時(shí)一定要根據(jù)問(wèn)題條件，準(zhǔn)確判定．
解析：(1)根據(jù)正弦定理，有＝，
即sin B＝，得sin B＝＝.
∵
2、aA＝30，B為銳角或鈍角．
即B＝45或135.
(2)由sin B＋cos B＝得sin＝1，∴B＝.
由正弦定理＝，得sin A＝，
又a＜b，∴A＜B.∴A＝.
?歸納拓展
已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，一般用正弦定理，但此時(shí)三角形不能唯一確定，可能出現(xiàn)一解、兩解、無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角，A>B則sin A>sin B”等關(guān)系來(lái)判定，也可以結(jié)合幾何圖形幫助理解記憶．具體模式如圖所示，關(guān)鍵是比較bsin A與a和b的大?。?dāng)A為銳角，且bsin A＝a時(shí)，一解，bsin A>a，無(wú)解，bsin A＜a，兩解，a≥b時(shí)一解，至于A＝90，A>
3、90，情況較易．
?變式遷移
1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，則c為(B)
A．1 B．2
C.－1 D.
解析：由正弦定理＝，
∴sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴A>B.∴B為銳角．
∴B＝，于是C＝.
∴△ABC為直角三角形．
∴c＝＝2，故選B.
例2 (1)在△ABC中，a＝m，b＝n，c＝，求C；
(2)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos C＝，求c及最大角的余弦值．
分析：(1)為△ABC中已知三邊求一角，直接用余弦定理cos C＝求解即可．
4、
(2)為△ABC中已知兩邊及其夾角余弦求第三邊，用c＝求最大角的余弦，不難想到“大邊對(duì)大角”．
解析：(1)由余弦定理得cos C＝，
將a，b，c的值代入上式，
得cos C＝＝－.
∵0a>c，∴在△ABC中，B最大．
∴cos B＝＝＝－.
?歸納拓展
余弦定理有三個(gè)方面的應(yīng)用：一是已知三角形的兩邊和它們的夾角，可以由余弦定理求出第三邊，進(jìn)而求出其余兩角；二是已知三角形的三邊，利用余弦定理求出一個(gè)角，進(jìn)而求出其他兩角；三是正、余弦定理
5、的綜合應(yīng)用，如已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理來(lái)解三角形．
?變式遷移
2．(2013湖南卷)在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，若2asin B＝b，則角A等于(D)
A. B.
C. D.
解析：由正弦定理＝和2asin B＝b可得2sin Asin B＝sin B，即sin A＝，
又∵△ABC為銳角三角形，∴A＝.
題型2 三角形形狀的判斷
例3 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A＝(2
6、b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大?。?
(2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀．
分析：只要根據(jù)已知條件找到三角形的邊或角的關(guān)系，就可以確定三角形的形狀．
解析：(1)由已知，根據(jù)正弦定理，可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得cos A＝＝－，∴A＝120.
(2)方法一 由(1)，B＋C＝60，B＝60－C，由sin B＋sin C＝1，得sin(60－C)＋sin C＝1，
即sin 60cos C－cos 60sin C＋sin C＝1，
即sin(C＋60)＝1，而0＜C＜60，
7、∴C＝30.
故B＝30，∴△ABC為等腰鈍角三角形．
方法二 由(1)b2＋c2＋bc＝a2得
sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A，
即(sin B＋sin C)2－sin Bsin C＝，
∴sin Bsin C＝.
與sin B＋sin C＝1聯(lián)立，解得sin B＝sin C＝，
而0＜B，C＜60，∴B＝C.
∴△ABC為等腰鈍角三角形．
?歸納拓展
要注意正弦的多值性，否則可能漏解．另外，還要注意等腰三角形或直角三角形與等腰直角三角形的區(qū)別．
判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化
8、成角的關(guān)系，用三角方法求解．在解三角形時(shí)的常用結(jié)論有：
(1)在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B?cos A，a2＋b2＝c2?C＝，a2＋b2>c2?0
9、os2＝，
∴＝.∴cos A＝.
∴cos A＝＝.
∴sin Ccos A＝sin B.
∴sin Ccos A＝sin(A＋C)．
∴sin Acos C＝0.
∵0
10、：(1)S＝absin C
＝34sin 60＝6＝3.
(2)∵S＝bcsin A，
∴＝2sin A，
∴sin A＝.∴A＝60或120.
?歸納拓展
三角形面積公式：S△＝aha＝bcsin A＝＝pr＝，其中A，B，C分別為△ABC的邊a，b，c的對(duì)角，R，r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，p＝(a＋b＋c)．
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4．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a－2，a，a＋2，且最大角的正弦值為，求這個(gè)三角形的面積．
解析：設(shè)α是最大角，∵sin α＝，而α＞60，
∴α＝120.
∴(a＋2)2＝a2＋(a－2)2－2a(a－2)cos 120.
解得a
11、＝5，∴三邊長(zhǎng)為3，5，7.
∴S△＝35sin 120＝.
5．在△ABC中，已知a＝，cos A＝，且b2－bc－2c2＝0.
(1)求b，c的值；
(2)求△ABC的面積．
解析：(1)由b2－bc－2c2＝0得(b＋c)(b－2c)＝0，
即b＝2c，再由a2＝b2＋c2－2bccos A得3＝(2c)2＋c2－22c2，解得c＝，b＝2.
(2)∵cos A＝，∴sin A＝＝.
∴S△ABC＝bcsin A＝2＝.
題型4 正、余弦定理的應(yīng)用
如右圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘
12、輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？
分析：在△ABD中，由正弦定理可求出BD，再在△BCD中，用余弦定理求出CD，最后可求出時(shí)間t.
解析：由題意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝90－45＝45，
∴∠ADB＝180－(45＋30)＝105.
在△DAB中，由正弦定理，得＝，
∴BD＝＝＝＝＝10(海里)．
又∵∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60，BC＝20 (海里)，
∴在△BCD中，由余弦定理得，
CD2＝BD2＋BC2－2BDBC
13、cos∠DBC＝300＋1 200－21020＝900.
∴CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))．
?歸納拓展
解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．其基本思路是：首先分析本題屬于哪種問(wèn)題(如測(cè)量距離、高度、角度等)，然后依題意畫(huà)出示意圖，把已知和未知的量標(biāo)在圖中，最后根據(jù)邊角關(guān)系選擇相應(yīng)的定理，同時(shí)注意近似計(jì)算的要求，解題后再還原為實(shí)際問(wèn)題．
?變式遷移
6．2009年國(guó)慶閱兵式上舉行升旗儀式，如圖，在坡度為15的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，在該列第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60和30，且第一排和最后一排距離為10米，求旗桿的高度．
解析：設(shè)旗桿的高度為x米，∠ABC＝105，∠CAB＝45，∴∠ACB＝30.根據(jù)正弦定理可知＝，即BC＝20.
∴旗桿高度x＝BCsin 60＝20＝30(米)．
故旗桿的高度為30米．
高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形章末知識(shí)整合 蘇教版必修5
