【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 第5節(jié) 古典概型與幾何概型課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 第5節(jié) 古典概型與幾何概型課時(shí)訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 簡(jiǎn)單的古典概型 1、9、11 古典概型與其他知識(shí)的綜合 4、7、10、15、16 與長(zhǎng)度(角度)相關(guān)的幾何概型 2、8 與面積(體積)相關(guān)的幾何概型 3、5、6、12、13、14、16 一、選擇題 1.(2014蘭州模擬)將一顆骰子擲兩次,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n,向量p=(m,n),q=(3,6).則向量p與q共線(xiàn)的概率為(　D　) (A)13 (B)14 (C)16 (D)112 解析:

2、由題意可得:基本事件(m,n)(m,n=1,2,…,6)的個(gè)數(shù)=66=36. 若p∥q,則6m-3n=0,得到n=2m.滿(mǎn)足此條件的共有(1,2),(2,4),(3,6)三個(gè)基本事件.因此向量p與q共線(xiàn)的概率為P=336=112. 2.在長(zhǎng)為12 cm的線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)M,并以線(xiàn)段AM為邊作正方形,則此正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為(　A　) (A)14 (B)13 (C)427 (D)415 解析:由題意可知6≤AM≤9, 于是所求概率為P=9-612=14. 故選A. 3.(2015河南三市聯(lián)考)在區(qū)間[-π,π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別為a,b,則使得函

3、數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π2有零點(diǎn)的概率為(　B　) (A)1-π8 (B)1-π4 (C)1-π2 (D)1-3π4 解析:函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π2有零點(diǎn),需Δ=4a2-4(-b2+π2)≥0,即a2+b2≥π2成立.而a,b∈[-π,π],建立平面直角坐標(biāo)系,滿(mǎn)足a2+b2≥π,點(diǎn)(a,b)如圖陰影部分所示,所求事件的概率為P=2π2π-π32π2π=4π2-π34π2=1-π4. 4.拋擲兩枚均勻的骰子,得到的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,那么直線(xiàn)xa+yb=1的斜率k≥-12的概率為(　D　) (A)12 (B)13 (C)34 (D)14 解析:記a,b的取

4、值為數(shù)對(duì)(a,b),由題意知(a,b)的所有可能取值有36種.由直線(xiàn)xa+yb=1的斜率k=-ba≥-12,知ba≤12,那么滿(mǎn)足題意的(a,b)可能的取值為(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1), (6,2),(6,3),共有9種,所以所求概率為936=14. 5.在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到正方體各面的距離都不小于1的概率為(　A　) (A)127 (B)2627 (C)827 (D)18 解析:正方體中到各面的距離不小于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)中心與原正方體中心重合,且棱長(zhǎng)為1的正方體,該正方體的體積是V1

5、=13=1,而原正方體的體積為V=33=27,故所求的概率為P=V1V=127. 6.(2014高考湖北卷)由不等式組x≤0,y≥0,y-x-2≤0確定的平面區(qū)域記為Ω1,不等式組x+y≤1,x+y≥-2確定的平面區(qū)域記為Ω2.在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為(　D　) (A)18 (B)14 (C)34 (D)78 解析:由題意作圖,如圖所示,Ω1的面積為1222=2,圖中陰影部分的面積為2-122222=74,則所求概率P=742=78. 7.(2014寧波模擬)設(shè)a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},則函數(shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[1,2]上有

6、零點(diǎn)的概率為(　C　) (A)12 (B)58 (C)1116 (D)34 解析:因?yàn)閒(x)=x3+ax-b,所以f′(x)=3x2+a.因?yàn)閍∈{1,2,3,4},因此f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù).若存在零點(diǎn),則f(1)≤0,f(2)≥0,解得a+1≤b≤8+2a.因此可使函數(shù)在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)的有a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8;a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12;a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12;a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12.根據(jù)古典概型可得有零點(diǎn)的概率為1116. 二、填空題 8.在區(qū)

7、間[0,10]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,使得不等式2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率為　　　　. 解析:要使2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax≤2x2+8,即a≤2x+8x在(0,+∞)上恒成立.又2x+8x≥216=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立,故只需a≤8,因此0≤a≤8.由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率為8-010-0=45. 答案:45 9.從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中,隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)間的距離為22的概率是　　　　. 解析:如圖,在正方形ABCD中,O為中心,從O,A,B,C,D這五點(diǎn)中任取兩點(diǎn)的情況有C52=10種.

8、 ∵正方形的邊長(zhǎng)為1,∴兩點(diǎn)距離為22的情況有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4種,故P=410=25. 答案:25 10.曲線(xiàn)C的方程為x2m2+y2n2=1,其中m、n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù),事件A=“方程x2m2+y2n2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”,那么P(A)=　　　. 解析:試驗(yàn)中所含基本事件個(gè)數(shù)為36;若想表示橢圓,則前后兩次的骰子點(diǎn)數(shù)不能相同,則去掉6種可能,既然橢圓焦點(diǎn)在x軸上,則m>n,又只剩下一半情況,即有15種. 因此P(A)=1536=512. 答案:512 11.(2013高考浙江卷)從3男3女共6名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中

9、的機(jī)會(huì)均等),這2名都是女同學(xué)的概率等于　　　　. 解析:用A,B,C表示三名男同學(xué),用a,b,c表示三名女同學(xué),則從6名同學(xué)中選出2人的所有選法為:AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15種選法,其中都是女同學(xué)的選法有3種,即ab,ac,bc,故所求概率為315=15. 答案:15 12.(2014長(zhǎng)沙模擬)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為　　　　. 解析:V正方體=23=8,V半球=1243π13=23π,V半

10、球V正方體=2π83=π12,∴P=1-π12. 答案:1-π12 13.(2014北京模擬)將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投放在關(guān)于x,y的不等式組3x+4y≤19,x≥1,y≥1所構(gòu)成的三角形區(qū)域內(nèi),則該質(zhì)點(diǎn)到此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率是　　　　. 解析:畫(huà)出關(guān)于x,y的不等式組3x+4y≤19,x≥1,y≥1,所構(gòu)成的三角形區(qū)域,如圖,三角形ABC的面積為S1=1234=6,離三個(gè)頂點(diǎn)距離都不大于1的地方的面積為S2=12π,所以其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都不小于1的地方的概率為P=1-π26=1-π12. 答案:1-π12 14.(2014高考福建卷)如圖,在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)

11、數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為　　　　. 解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=ex與函數(shù)y=ln x互為反函數(shù),其圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng), 又因?yàn)楹瘮?shù)y=ex與直線(xiàn)y=e的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,e), 所以陰影部分的面積為 2(e1-01 exdx)=2e-2ex︱01=2e-(2e-2)=2, 由幾何概型的概率計(jì)算公式, 得所求的概率P=S陰影S正方形=2e2. 答案:2e2 三、解答題 15.(2014洛陽(yáng)模擬)現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件,其中8件為正品,2件為次品. (1)如果從中取出一件,然后放回,再取一件,求連續(xù)3次取出的都是正品的概率. (2)如果從中一

12、次取3件,求3件都是正品的概率. 解:(1)有放回地抽取3次,按抽取順序(x,y,z)記錄結(jié)果,則x,y,z都有10種可能, 所以基本事件總數(shù)為101010=103(種); 設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取出正品”,則包含的基本事件共有888=83種, 因此P(A)=83103=0.512. (2)可以看作不放回抽樣3次,順序不同,基本事件不同,按抽取順序記錄(x,y,z), 則x有10種可能,y有9種可能,z有8種可能, 所以基本事件總數(shù)為1098. 設(shè)事件B為“3件都是正品”, 則事件B包含的基本事件總數(shù)為876, 所以P(B)=8761098=715. 16.設(shè)f(x)和g

13、(x)都是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù),若對(duì)任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,則稱(chēng)f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”,設(shè)f(x)=ax,g(x)=bx. (1)若a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率; (2)若a∈[1,4],b∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率. 解:(1)設(shè)事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”, 則|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])所有的情況有 x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x,4x+1x,4x+4x, 共6種且每種情況被取到的可能性相同. 又當(dāng)a>0,b>0時(shí)ax

14、+bx在(0,ba)上遞減,在(ba,+∞)上遞增; x-1x和4x-1x在(0,+∞)上遞增, ∴對(duì)x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恒成立的有x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x, 故事件A包含的基本事件有4種, ∴P(A)=46=23, 故所求概率是23. (2)設(shè)事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”, ∵a是從區(qū)間[1,4]中任取的數(shù),b是從區(qū)間[1,4]中任取的數(shù),∴點(diǎn)(a,b)所在區(qū)域是長(zhǎng)為3,寬為3的矩形區(qū)域. 要使x∈[1,2]時(shí),|f(x)+g(x)|≤8恒成立, 需f(1)+g(1)=a+b≤8且f(2)+g(2)=2a+b2≤8, ∴事件B表示的點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分. ∴P(B)=12(2+114)333=1924, 故所求的概率是1924.