【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3篇 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3篇 第3節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 三角函數(shù)的定義域、值域 2、5、10 三角函數(shù)的單調(diào)性 1、4、9、13 三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性 1、3 三角函數(shù)的周期性 6、7、8 綜合應(yīng)用 6、11、12、14、15、16 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 一、選擇題 1.(2014懷化二模)下列命題正確的是(　C　) (A)函數(shù)y=sin(2x+π3)在區(qū)間(-π3,π6)上單調(diào)遞增 (B)函數(shù)y=cos4x-sin4x的最小正周期為2π (C)函數(shù)y=cos(x+π3)的圖象是關(guān)于

2、點(diǎn)(π6,0)成中心對(duì)稱(chēng)的圖形 (D)函數(shù)y=tan(x+π3)的圖象是關(guān)于直線(xiàn)x=π6成軸對(duì)稱(chēng)的圖形 解析:當(dāng)-π3<x<π6時(shí),-π3<2x+π3<2π3, 故y=sin(2x+π3)在(-π3,π6)上不單調(diào),A錯(cuò); y=cos4x-sin4x=cos2x-sin2x=cos 2x,最小正周期為π,B錯(cuò); 正切函數(shù)的圖象不可能關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng),D錯(cuò). 2.已知函數(shù)f(x)=3cos(2x-π4)在[0,π2]上的最大值為M,最小值為m,則M+m等于(　C　) (A)0 (B)3+322 (C)3-322 (D)32 解析:∵x∈[0,π2], ∴

3、2x-π4∈[-π4,3π4], ∴cos(2x-π4)∈[-22,1], ∴f(x)∈[-322,3], ∴M+m=3-322. 3.(2014廣州測(cè)試)若函數(shù)y=cos(ωx+π6)(ω∈N*)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(π6,0),則ω的最小值為(　B　) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:依題意得cos(ω·π6+π6)=0, π6(ω+1)=kπ+π2, ω=6k+2(其中k∈Z), 又ω是正整數(shù), 因此ω的最小值是2. 4.(2014阜陽(yáng)二模)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+π3)(x∈R),則f(x)(　A　) (A)在區(qū)間[2π3,7π6]上是增

4、函數(shù) (B)在區(qū)間[-π,-π2]上是減函數(shù) (C)在區(qū)間[π8,π4]上是增函數(shù) (D)在區(qū)間[π3,5π6]上是減函數(shù) 解析:由函數(shù)圖象的變換可知,f(x)=sin(x+π3)的圖象是將f(x)=sin(x+π3)的圖象在x軸下方的部分對(duì)折上去, 此時(shí)函數(shù)的最小正周期變?yōu)棣? 則函數(shù)在區(qū)間kπ≤x+π3≤kπ+π2, 即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)上為增函數(shù), 當(dāng)k=1時(shí)有2π3≤x≤7π6, 故在區(qū)間[2π3,7π6]上f(x)是增函數(shù). 5.(2014福建南安一中月考)已知函數(shù)f(x)=(cos x-m)2+1在cos x=-1時(shí)取得最大值,在cos x=m

5、時(shí)取得最小值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　C　) (A)m≤-1 (B)m≥1 (C)0≤m≤1 (D)-1≤m≤0 解析:設(shè)t=cos x,則t∈[-1,1], 依題意知g(t)=(t-m)2+1在t=-1時(shí)取得最大值, 而在t=m時(shí)取得最小值,結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知g(-1)≥g(1),-1≤m≤1, 即(-1-m)2+1≥(1-m)2+1,-1≤m≤1, 也就是m≥0,-1≤m≤1. 所以0≤m≤1. 6.(2014瀏陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+ ),x∈R,其中ω>0,-π< ≤π.若f(x)的最小正周期為6π,且當(dāng)x=π2時(shí),f(x)取得最

6、大值,則(　A　) (A)f(x)在區(qū)間[-2π,0]上是增函數(shù) (B)f(x)在區(qū)間[-3π,-π]上是增函數(shù) (C)f(x)在區(qū)間[3π,5π]上是減函數(shù) (D)f(x)在區(qū)間[4π,6π]上是減函數(shù) 解析:∵T=6π, ∴ω=2πT=2π6π=13, ∴13×π2+ =2kπ+π2, ∴=2kπ+π3(k∈Z). ∵-π< ≤π, ∴令k=0得φ=π3. ∴f(x)=2sin(x3+π3). 令2kπ-π2≤x3+π3≤2kπ+π2,k∈Z, 則6kπ-5π2≤x≤6kπ+π2,k∈Z. 易知f(x)在區(qū)間[-2π,0]上是增函數(shù). 二、填空

7、題 7.(2014高考北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0).若f(x)在區(qū)間[π6,π2]上具有單調(diào)性,且f(π2)=f(2π3)=-f(π6),則f(x)的最小正周期為　　　　.  解析:∵f(x)在區(qū)間[π6,π2]上具有單調(diào)性, 且f(π2)=f(2π3), ∴x=π2和x=2π3均不是f(x)的極值點(diǎn), 其極值應(yīng)該在x=π2+2π32=7π12處取得, ∵f(π2)=-f(π6), ∴x=π6也不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn), 又f(x)在區(qū)間[π6,π2]上具有單調(diào)性, ∴x=π6-(7π12-π2)=π1

8、2為f(x)的另一個(gè)相鄰的極值點(diǎn), 故函數(shù)f(x)的最小正周期T=2×(7π12-π12)=π. 答案:π 8.(2014大連模擬)已知f(x)=Asin(ωx+φ),f(α)=A,f(β)=0,|α-β|的最小值為π3,則正數(shù)ω=　　　　.  解析:由|α-β|的最小值為π3知函數(shù)f(x)的周期T=43π, ∴ω=2πT=32. 答案:32 9.若函數(shù)f(x)=cos 2x+asin x在區(qū)間(π6,π2)是減函數(shù),則a的取值范圍是　　　　.  解析:f′(x)=-2sin 2x+acos x =-4sin xcos x+acos x =co

9、s x(-4sin x+a). ∵x∈(π6,π2)時(shí),f(x)是減函數(shù), 又cos x>0, ∴由f′(x)≤0得-4sin x+a≤0, ∴a≤4sin x在(π6,π2)上恒成立, ∴a≤(4sin x)min(x∈(π6,π2)), ∴a≤2. 答案:(-∞,2] 10.(2014聊城模擬)若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間[0,π3]上的最大值是2,則ω=　　　　.  解析:由0≤x≤π3, 得0≤ωx≤ωπ3<π3, 則f(x)在[0,π3]上單調(diào)遞增, 且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是2, 所以2sin ωπ3=2,

10、 且0<ωπ3<π3, 所以ωπ3=π4, 解得ω=34. 答案:34 三、解答題 11.(2014煙臺(tái)模擬)已知函數(shù)f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)sin(x+π4). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π12,π2]上的值域. 解:(1)f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)sin(x+π4) =12cos 2x+32sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) =12cos 2x+32sin 2x+sin2x-cos2x =12cos 2x+32sin

11、 2x-cos 2x =sin(2x-π6). ∴最小正周期T=2π2=π, 由2x-π6=kπ+π2(k∈Z), 得x=kπ2+π3(k∈Z). ∴函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=kπ2+π3(k∈Z). (2)∵x∈[-π12,π2], ∴2x-π6∈[-π3,5π6], ∴-32≤sin(2x-π6)≤1. 即函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π12,π2]上的值域?yàn)閇-32,1]. 12.(2014高考福建卷)已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x)-12. (1)若0<α<π2,且sin α=22,求f(α)的值; (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞

12、增區(qū)間. 解:法一　(1)因?yàn)?<α<π2,sin α=22, 所以cos α=22. 所以f(α)=22(22+22)-12=12. (2)因?yàn)閒(x)=sin xcos x+cos2x-12 =12sin 2x+1+cos2x2-12 =12sin 2x+12cos 2x =22sin(2x+π4), 所以T=2π2=π. 由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-3π8,kπ+π8],k∈Z. 法二　f(x)=sin xcos x+cos2x-12 =12sin

13、2x+1+cos2x2-12 =12sin 2x+12cos 2x =22sin(2x+π4). (1)因?yàn)?<α<π2,sin α=22, 所以α=π4, 從而f(α)=22sin(2α+π4)=22sin 3π4=12. (2)T=2π2=π. 由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-3π8,kπ+π8],k∈Z. 能力提升 13.已知函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0)為偶函數(shù)(0<φ<π),其圖象與直線(xiàn)y=2某兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,

14、若|x2-x1|的最小值為π,則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間可以是(　A　) (A)-π2,-π4 (B)-π4,π4 (C)0,π2 (D)π4,34π 解析:由函數(shù)為偶函數(shù)知=π2+kπ(k∈Z), 又因?yàn)?< <π,所以φ=π2,從而y=2cos ωx. 由題意知函數(shù)的最小正周期為π, 故ω=2,因此y=2cos 2x, 經(jīng)驗(yàn)證知選項(xiàng)A滿(mǎn)足條件. 14.(2014黃岡模擬)已知過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)y=|sin x|(x≥0)的圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn),α是交點(diǎn)中橫坐標(biāo)的最大值,則(1+α2)sin2α2α的值為　　　　.  解析:y=|sin x|(x≥0)的圖

15、象如圖,若過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)y=|sin x|(x≥0)的圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn), 則第三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為α, 且α∈(π2,3π2), 又在區(qū)間(π,2π)上,y=|sin x|=-sin x, 則切點(diǎn)坐標(biāo)為(α,-sin α), 又切線(xiàn)斜率為-cos α, 則切線(xiàn)方程為y+sin α=-cos α(x-α), 即y=(-cos α)x+αcos α-sin α. 又直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),把(0,0)代入上式得,α=tan α, ∴(1+α2)sin2α2α=(1+tan2α)2sinαcosα2tanα =(1+tan2α)cos2α =(1+sin2αcos2α)cos2α

16、 =cos2α+sin2α =1. 答案:1 15.已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin(2x+π6)+2a+b,當(dāng)x∈[0,π2]時(shí),-5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a,b的值. (2)設(shè)g(x)=f(x+π2)且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間. 解:(1)∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6]. ∴sin(2x+π6)∈[-12,1], ∴-2asin(2x+π6)∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b]. 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. (2)由(1)得a=2,b=-5,

17、 ∴f(x)=-4sin(2x+π6)-1, g(x)=f(x+π2)=-4sin(2x+7π6)-1 =4sin(2x+π6)-1, 又由lg g(x)>0得g(x)>1, ∴4sin(2x+π6)-1>1, ∴sin(2x+π6)>12, ∴2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z, 其中當(dāng)2kπ+π6<2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z時(shí),g(x)單調(diào)遞增,即kπ<x≤kπ+π6,k∈Z. ∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(kπ,kπ+π6],k∈Z. 又∵當(dāng)2kπ+π2<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z時(shí),g

18、(x)單調(diào)遞減,即kπ+π6<x<kπ+π3,k∈Z. ∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(kπ+π6,kπ+π3),k∈Z. 探究創(chuàng)新 16.(2014卓越聯(lián)盟自主招生試題)設(shè)α∈R,函數(shù)f(x)=2sin 2xcos α+2cos 2xsin α-2cos(2x+α)+cos α,x∈R. (1)若α∈[π4,π2],求f(x)在區(qū)間[0,π2]上的最大值; (2)若f(x)=3,求α與x的值. 解:(1)易知f(x)=2sin(2x+α)-2cos(2x+α)+cos α =2sin(2x+α-π4)+cos α, 由于α-π4∈[0,π4], 2x+α-π4∈[α-π4,α+3π4], 所以當(dāng)2x+α-π4=π2, 即x=3π8-α2時(shí),f(x)max=2+cos α. 又f(x)max=2+cos α在α∈[π4,π2]上單調(diào)遞減, 所以f(x)max=2+cos α≤2+22, 當(dāng)α=π4時(shí)取到最大值. 綜上可知,當(dāng)α=π4,x=π4時(shí),f(x)max=2+22. (2)由于f(x)=2sin(2x+α-π4)+cos α, 且2sin(2x+α-π4)≤2,cos α≤1, 現(xiàn)在已知f(x)=3,則等價(jià)于sin(2x+α-π4)=1,cosα=1, 解得α=2kπ,k∈Z,x=(m-k)π+3π8,m∈Z.