【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9篇 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9篇 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例課時(shí)訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 相關(guān)關(guān)系 1、4、8、10 線性回歸方程及其應(yīng)用 2、5、6、9、13、14 獨(dú)立性檢驗(yàn) 3、11、12 綜合應(yīng)用 7、15、16 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.下列關(guān)系屬于線性負(fù)相關(guān)的是(　C　) (A)父母的身高與子女身高的關(guān)系 (B)某農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系 (C)汽車的質(zhì)量與汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程 (D)一個(gè)家庭的收入與支出 解析:上述四項(xiàng)中,只有C項(xiàng),汽車的重量越大,汽車每消耗1 L汽油所行駛

2、的平均路程越短是負(fù)相關(guān)關(guān)系. 2.(2014黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)三模)已知x與y之間的一組數(shù)據(jù): x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得關(guān)于y與x的線性回歸方程為y＾=2.1x+0.85,則m的值為(　D　) (A)1 (B)0.85 (C)0.7 (D)0.5 解析:x=14(0+1+2+3)=1.5; y=14(m+3+5.5+7)=15.5+m4, 故樣本中心點(diǎn)為（1.5,15.5+m4）. 由樣本中心必在回歸直線上可知, 15.5+m4=2.1×1.5+0.85,解得m=0.5. 3.(2014株洲模擬)通過隨機(jī)詢問110

3、名大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到列聯(lián)表: 男 女 總計(jì) 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 得K2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.8. 附表: P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 參照附表,得到的正確結(jié)論是(　A　) (A)有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

4、(B)有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” (C)在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” (D)在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” 解析:因?yàn)?.8>6.635,所以有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”. 4.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點(diǎn)圖中,若所有樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=12x+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　D　) (A)-1 (B)0 (C)12 (D)1 解析:樣

5、本點(diǎn)都在直線上時(shí),其數(shù)據(jù)的估計(jì)值與真實(shí)值是相等的,故其相關(guān)系數(shù)為1. 5.(2014合肥一中質(zhì)量檢測(cè))某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,所得數(shù)據(jù)如表: x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 則y對(duì)x的線性回歸方程為(　C　) (A)y＾=2.3x-0.7 (B)y＾=2.3x+0.7 (C)y＾=0.7x-2.3 (D)y＾=0.7x+2.3 解析:由題中表格,x=9,y=4,∑i=14xiyi=158,∑i=14xi2=344, ∴b＾=158-4×9×4344-4×92=0.7,a＾=4-0.7

6、5;9=-2.3, ∴回歸直線方程為y＾=0.7x-2.3. 6.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表: 廣告費(fèi)用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)表可得回歸方程y＾=b＾x+a＾中的b＾為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為(　B　) (A)63.6萬元 (B)65.5萬元 (C)67.7萬元 (D)72.0萬元 解析:x=4+2+3+54=3.5(萬元), y=49+26+39+544=42(萬元), ∴a＾=y-b＾x=42-9.4×3.5=9.1, ∴回歸方程為y＾=9.4x+9.1

7、, ∴當(dāng)x=6(萬元)時(shí),y＾=9.4×6+9.1=65.5(萬元). 7.(2014晉江模擬)下列說法: ①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,方差恒不變; ②設(shè)有一個(gè)回歸方程y＾=3-5x,變量x增加一個(gè)單位時(shí),y平均增加5個(gè)單位; ③線性回歸方程y＾=b＾x+a＾必過(x,y); ④在一個(gè)2×2列聯(lián)表中,由計(jì)算得K2=13.079,則有99%的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是(　B　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 本題可以參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表: P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15

8、0.10 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解析:一組數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù),數(shù)據(jù)的平均數(shù)有變化,方差不變(方差是反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度的量),①正確;回歸方程中x的系數(shù)具備直線斜率的功能,對(duì)于回歸方程y＾=3-5x,當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),y平均減少5個(gè)單位,②錯(cuò)誤;由線性回歸方程的定義知,線性回歸方程y＾=b＾x+a＾必過點(diǎn)(x,y),③正確;因?yàn)镵2=13.079>6.635,故有99%的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系,④正確.故選B. 二、填空題 8.已知施

9、化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表,則變量x與變量y是　　　　相關(guān)(填“正”或“負(fù)”).  施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 解析:因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖能直觀地反映兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系,所以畫出散點(diǎn)圖如圖所示: 通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關(guān). 答案:正 9.考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn):其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為y＾=1.197x-3.660,由此估計(jì),當(dāng)股骨長度為50 cm時(shí),肱骨長度的估計(jì)值為　　　　cm.

10、60; 解析:根據(jù)線性回歸方程y＾=1.197x-3.660,將x=50代入得y=56.19,則肱骨長度的估計(jì)值為56.19 cm. 答案:56.19 10.(2014南開模擬)如圖所示,有A,B,C,D,E5組數(shù)據(jù),去掉　　　　組數(shù)據(jù)后,剩下的4組數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.  解析:由散點(diǎn)圖知呈帶狀區(qū)域時(shí)有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,故去掉D. 答案:D 11.為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文科是否與性別有關(guān),現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生,得到2×2列聯(lián)表: 理科 文科 合計(jì) 男 13 10 23 女 7 20 27 合計(jì) 20 30 50

11、 已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025. 根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到K2=50×(13×20-10×7)223×27×20×30≈4.844, 則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為　　　　.  解析:由K2≈4.844>3.841. 故認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為5%. 答案:5% 三、解答題 12.(2014高考遼寧卷)某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如表所示: 喜歡甜品 不喜歡甜品 合計(jì) 南方學(xué)生

12、 60 20 80 北方學(xué)生 10 10 20 合計(jì) 70 30 100 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”; (2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品.現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率. 附:χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2, P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 解:(1)將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算, 得χ2=n(n11n22-

13、n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762. 由于4.762>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”. (2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3), (a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}

14、. 其中ai表示喜歡甜品的學(xué)生,i=1,2.bj表示不喜歡甜品的學(xué)生,j=1,2,3. Ω由10個(gè)基本事件組成,且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件,則 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3), (a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. 事件A由7個(gè)基本事件組成,因而P(A)=710. 能力提升 13.(2014沈陽五模)經(jīng)統(tǒng)計(jì),用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間(單位:小時(shí))與成績(單位:分)近似于線性相關(guān)關(guān)系.對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間x與數(shù)學(xué)成績y進(jìn)行數(shù)據(jù)收

15、集如表: x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 115 120 由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為y＾=b＾x+a＾,則點(diǎn)(a＾,b＾)與直線x+18y=100的位置關(guān)系是(　B　) (A)a＾+18b＾<100 (B)a＾+18b＾>100 (C)a＾+18b＾=100 (D)a＾+18b＾與100的大小無法確定 解析:x=15(15+16+18+19+22)=18, y=15(102+98+115+115+120)=110. 所以樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)為(18,110). 所以110=18b＾+a＾. 即點(diǎn)(a＾,b＾)滿足

16、a＾+18b＾=110>100. 14.高三某班學(xué)生每周用于物理學(xué)習(xí)的時(shí)間x(單位:小時(shí))與物理成績y(單位:分)之間有如下關(guān)系: x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 根據(jù)表可得回歸方程的斜率為3.53,則回歸直線在y軸上的截距為　　　　.(答案保留到0.1)  解析:由已知可得 x=24+15+23+19+16+11+20+16+17+1310=17.4, y=92+79+97+89+64+47+83+68+71+5910=74.9

17、. 設(shè)回歸直線方程為y＾=3.53x+a＾, 則74.9=3.53×17.4+a＾, 解得a＾≈13.5. 答案:13.5 15.(2013高考重慶卷)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得∑i=110xi=80,∑i=110yi=20,∑i=110xiyi=184,∑i=110xi2=720. (1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y=bx+a; (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān); (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄. 附:線性回歸方程y=bx+a中,

18、 b=∑i=1nxiyi-nx-y-∑i=1nxi2-nx-2,a=y--bx-, 其中x-,y-為樣本平均值,線性回歸方程也可寫為y＾=b＾x+a＾. 解:(1)由題意知n=10,x=8,y=2, 又∑i=1nxi2-nx2=720-10×82=80, ∑i=1nxiyi-nx-y-=184-10×8×2=24, 由此得b=∑i=1nxiyi-nx-y-∑i=1nxi2-nx-2=2480=0.3, a=y-bx=2-0.3×8=-0.4, 故所求回歸方程為y=0.3x-0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b=0.3&g

19、t;0),故x與y之間是正相關(guān). (3)將x=7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y=0.3×7-0.4=1.7(千元). 探究創(chuàng)新 16.電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布表(時(shí)間單位為:分): 分組 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 頻率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.2 0.05 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”,已

20、知“體育迷”中有10名女性. (1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)? 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 女 合計(jì) (2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”,已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性,若從“超級(jí)體育迷”中任意選取2人,求至少有1名女性觀眾的概率. 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 解:(1)由頻率分布表可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人

21、,從而完成2×2列聯(lián)表如表: 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100 將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得 K2=100×(30×10-45×15)275×25×45×55≈3.030. 因?yàn)?.030<3.841, 所以我們沒有充分理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān). (2)由頻率分布表可知,“超級(jí)體育迷”有5人, 從而一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間為 Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2), (a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}, 其中ai表示男性,i=1,2,3,bj表示女性,j=1,2. Ω由10個(gè)基本事件組成,而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 用A表示“任選2人中,至少有1人是女性”這一事件, 則A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},事件A由7個(gè)基本事件組成. ∴P(A)=710.