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1、專題升級訓練 等差數列、等比數列
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.已知數列{an}滿足a1=1,且,則a2 014=( )
A.2 012 B.2 013
C.2 014 D.2 015
2.已知各項均為正數的等比數列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=( )
A.5 B.4
C.6 D.7
3.(2013·山東青島模擬,6)等比數列{an}的前n項和為Sn,且4a1,2a2,a3成等差數列.若a1=1,則S4=( )
A.7 B.8
C.15 D.16
2、4.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若=a1+a200,且A,B,C三點共線(該直線不過原點O),則S200=( )
A.100 B.101
C.200 D.201
5.在等差數列{an}中,an>0,且a1+a2+…+a10=30,則a5·a6的最大值等于( )
A.3 B.6
C.9 D.36[來源:]
6.設{an},{bn}分別為等差數列與等比數列,且a1=b1=4,a4=b4=1,則以下結論正確的是( )
A.a2>b2 B.a3<b3
C.a5>b5 D.a6>b6
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,
3、共18分)
7.定義“等積數列”:在一個數列中,如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數,那么這個數列叫做等積數列,這個常數叫做該數列的公積,已知數列{an}是等積數列,且a1=3,公積為15,那么a21= .
8.在數列{an}中,如果對任意n∈N*都有=k(k為常數),則稱數列{an}為等差比數列,k稱為公差比.現(xiàn)給出下列命題:
①等差比數列的公差比一定不為零;
②等差數列一定是等差比數列;
③若an=-3n+2,則數列{an}是等差比數列;
④若等比數列是等差比數列,則其公比等于公差比.
其中正確命題的序號為 .
9.已知a,b,c是
4、遞減的等差數列,若將其中兩個數的位置互換,得到一個等比數列,則= .
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
10.(本小題滿分15分)已知數列{an}為公差不為零的等差數列,a1=1,各項均為正數的等比數列{bn}的第1項、第3項、第5項分別是a1,a3,a21.
(1)求數列{an}與{bn}的通項公式;
(2)求數列{anbn}的前n項和.
11.(本小題滿分15分)(2013·山東東營模擬,19)已知三個正整數2a,1,a2+3按某種順序排列成等差數列.
(1)求a的值;
(2)若等差數列{an}
5、的首項、公差都為a,等比數列{bn}的首項、公比也都為a,前n項和分別為Sn,Tn,且>Sn-108,求滿足條件的正整數n的最大值.[來源:]
12.(本小題滿分16分)等差數列{an}的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn;
(2)設bn=(n∈N*),求證:數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列.
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一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.C 解析:由,可得an=n,故a2 014=2 014.
2.A 解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)==50,且an>0,
∴a
6、4a5a6==5.
3.C 解析:設數列{an}的公比為q,則由題意得4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,得q=2.∴S4==15.
4.A 解析:∵=a1+a200,且A,B,C三點共線,
∴a1+a200=1,故根據等差數列的前n項和公式得S200==100.
5.C 解析:∵a1+a2+…+a10=30,得a5+a6==6,又an>0,
∴a5·a6≤=9.
6.A 解析:設等差數列{an}的公差為d,等比數列{bn}的公比為q,由a1=b1=4,a4=b4=1,得d=-1,q=,∴a2=3,b2=2;a3=2,b3=;a
7、5=0,b5=;a6=-1,b6=.故選A.
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7.3 解析:由題意知an·an+1=15,即a2=5,a3=3,a4=5,…觀察可得:數列的奇數項都為3,偶數項都為5.故a21=3.
8.①③④ 解析:若k=0,{an}為常數列,分母無意義,①正確;公差為零的等差數列不是等差比數列,②錯誤;=3,滿足定義,③正確;設an=a1qn-1(q≠0),則=q,④正確.[來源:]
9.20 解析:依題意得①或者②或者③
由①得a=b=c,這與a,b,c是遞減的等差數列矛盾;
由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0.
又a&
8、gt;b,因此有a=-2b,c=4b,故=20;
由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0.
又b>c,因此有c=-2b,a=4b,故=20.
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
10.解:(1)設數列{an}的公差為d(d≠0),數列{bn}的公比為q(q>0),
由題意得=a1a21,
∴(1+2d)2=1×(1+20d),∴4d2-16d=0.
∵d≠0,∴d=4.∴an=4n-3.
于是b1`=1,b3=9,b5=81,{bn}的各項均為正數,
∴q=3.∴bn=3n-1.
(2)anbn=(
9、4n-3)3n-1,
∴Sn=30+5×31+9×32+…+(4n-7)×3n-2+(4n-3)×3n-1,3Sn=31+5×32+9×33+…+(4n-7)×3n-1+(4n-3)×3n.
兩式兩邊分別相減得
-2Sn=1+4×3+4×32+4×33+…+4×3n-1-(4n-3)×3n
=1+4(3+32+33+…+3n-1)-(4n-3)×3n
=1+-(4n-3)×3n
=(5-4n)×3n-5,∴Sn=.
11.
10、解:(1)∵2a,a2+3是正整數,∴a是正整數,∴a2+3>2a>1,∴4a=a2+3+1,∴a=2.
(2)Sn=2n+·2=n2+n,
Tn==2n+1-2,∴=2.
∴Sn<110,即n2+n-110<0,
∴-11<n<10.
∵n是正整數,∴n的最大值是9.[來源:]
12.解:(1)由已知得
∴d=2.
故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)由(1)得bn==n+.
假設數列{bn}中存在三項bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比數列,則=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+),[來源:]
∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
∵p,q,r∈N*,∴
∴=pr,(p-r)2=0.
∴p=r,這與p≠r矛盾.
∴數列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數列.
專題四 第1講等差數列、等比數列
