黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系(共8頁)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 數(shù)學系1302班第五組 07 樊萌 12 韓鴻林 19 蘭星 21 李鴻燕 45 王堃 51 武相伶 54 許小亭 57 楊莉 69 趙志陽 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 黎曼積分和勒貝格積分定義的比較 1、黎曼積分定義：設(shè) 在上有界,對做分割,,其中令,,, ,若有 則稱在上黎曼可積. 2、勒貝格積分定義：, ,作,其中,,分別為在上的上界和下界,令,若存在,則勒貝格可積. 3、一般的可測函數(shù)的積分定義為:設(shè)在可測集E上可測,若記，,則有,若,不同時為,則在上的積分確定且 . 4、 簡單函數(shù)的勒貝格積分定義:設(shè)是可測集上的非負簡單函數(shù),于是有對的劃分,,在上的取值為,則,定義的勒貝格積分為,若,則稱在上勒貝格可積. 5、非負可測函數(shù)的勒貝格積分定義:取上的非負簡單函數(shù)列,對任意的,都收斂于,則在上勒貝格可積其積分為 . 對一般的函數(shù)由于,則 . 若左端的兩個積分值都有限時,稱在上勒貝格可積. 勒貝格積分是對黎曼積分的推廣,所以黎曼可積的函數(shù)一定勒貝格可積,但勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積. 黎曼積分與勒貝格積分存在條件的比較 黎曼可積的條件 ㈠黎曼可積的條件必要條件 定義在上的黎曼可積的必要條件是在上有界. 注 任何黎曼可積的函數(shù)必有界,但有界函數(shù)不一定黎曼可積. ㈡黎曼可積的充分必要條件 1、設(shè)是定義在上的有界函數(shù),則黎曼可積的充分必要條件為在上的黎曼上積分等于黎曼下積分.即 設(shè)在上有界,為對的任一分割,其中令 ,,,,,有 . 2、設(shè)是定義在上的有界函數(shù),則黎曼可積的充分必要條件為,總存在某一分割,使得 . 3、設(shè)是定義在上的有界函數(shù),則黎曼可積的充分必要條件為,總存在某一分割,使得 成立. 4、定義在上的函數(shù)黎曼可積的充分必要條件為在上的一切間斷點構(gòu)成一個零測度集. 注 這說明黎曼可積的函數(shù)時幾乎處處連續(xù)的. 勒貝格可積條件 1、設(shè)是定義在可測集上的有界函數(shù),則在上勒貝格可積的充要條件為,總存在的某一分割,使得 . 2、設(shè)是定義在可測集上的有界函數(shù),則在上勒貝格可積的充要條件為在上勒貝格可測. 3、設(shè)在上的黎曼反常積分存在,則在上勒貝格可積的充要條件為在上的黎曼反常積分存在,且有 . 4、設(shè)為上的可測函數(shù)列,在上的極限函數(shù)幾乎處處存在,且,則在上勒貝格可積. 5、設(shè)是是定義在可測集上的連續(xù)函數(shù),則在上勒貝格可積的充要條件為在上勒貝格可測. 黎曼積分與勒貝格積分的性質(zhì)比較 黎曼積分的性質(zhì) 1、（線性性）若,是定義在上黎曼可積函數(shù),則 ,,也在上黎曼可積. 注 ,但. 2、（區(qū)域可加性）設(shè)有界函數(shù)在,上都黎曼可積,則在上也黎曼可積,且有 . 3、（單調(diào)性）若,是定義在上黎曼可積,且,則 . 4、（可積必絕對可積）若在上黎曼可積,則在上也黎曼可積,且有. 注 其逆命題不成立. 5、若在上黎曼可積,則在的任意內(nèi)閉子區(qū)間上也黎曼可積.且其積分值不會超過在上的積分值. 6、若是上非負且連續(xù)的函數(shù),若有,則在上恒等于零. 7、若,是上的黎曼可積函數(shù),則 , 在上也黎曼可積. 8、若在上黎曼可積,在上有定義且有界,則也在上黎曼可積. 勒貝格積分的性質(zhì) 1、（有限可加性）設(shè)是有界可測集上的可積函數(shù),,等均可測且兩兩互不相交,則有 . 2、對于給定的可測函數(shù),與的可積性相同且 . 3、(單調(diào)性)若,在上勒貝格可積,且?guī)缀跆幪幊闪?則 . 4、是上的非負可積函數(shù),則在上是幾乎處處有限的. 5、是上的非負可測函數(shù),若在上幾乎處處等于0,則. 6、(零測集上的積分)若,則. 7、是上的勒貝格可積函數(shù),在上幾乎處處成立,則. 8、設(shè)在上可測,若存在非負函數(shù)在可測集上勒貝格可積,幾乎處處成立,則在可測集上勒貝格可積. 9、在可測集上勒貝格可積,是的可測子集,則在上也勒貝格可積. 且其積分值不會超過在上的積分值. 10、設(shè)在上可測,則的充要條件是在上幾乎處處成立. 11、設(shè),均在上勒貝格可積,則,也 在上勒貝格可積. 12、若與在上幾乎處處相等,則也可積,且 . 13、設(shè)在可測集上勒貝格可積函數(shù),則其不定積分是絕對連續(xù)函數(shù) 14、設(shè)為可測集上勒貝格可積函數(shù),則存在絕對連續(xù)的函數(shù),使得導(dǎo)函數(shù)在上幾乎處處等于. 黎曼積分與勒貝格積分相關(guān)定理的比較 與黎曼積分相關(guān)的定理 ⒈若函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂,且每一項都連續(xù),則其極限函數(shù)也在上連續(xù). ⒉（可積性）若函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂,且每一項都連續(xù), . ⒊（可微性）設(shè)為定義在上的函數(shù)列,若為的收斂點,且的每一項在上都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),在上一致收斂,則 . ⒋有界收斂定理設(shè)是定義在上的黎曼可積函數(shù). ⑴. ⑵是定義在上的黎曼可積函數(shù).且.則有 . 與勒貝格積分相關(guān)的定理 ⒈（勒維定理）設(shè)可測集上的可測函數(shù)列滿足如下條件: ,,則的積分序列收斂于的積分 . ⒉（勒貝格控制收斂定理）設(shè)可測集上的可測函數(shù)列滿足如下條件: ⑴的極限存在,. ⑵存在可積函數(shù)使得那么可積,有 . ⒊設(shè),上的可測函數(shù)列滿足如下條件: ⑴,可積. ⑵依測度收斂于,那么可積,有 . ⒋設(shè)是上的增函數(shù)列,且有在上收斂,則 . 專心---專注---專業(yè)