精編【課堂坐標】高中數(shù)學北師大版必修五學業(yè)分層測評：第一章 數(shù)列 10 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學資料 學業(yè)分層測評(十) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．某工廠2015年底制定生產計劃，要使工廠的年產值到2025年在原有基礎上翻兩番，則年總產值的平均增長率為(　　) A．4－1　 B．5－1 C．3－1 D．4－1 【解析】　設生產計劃為a，(a＞0)，設年平均增長率為x， 則到2025年底的總產值為a(1＋x)10， 由題意可得a(1＋x)10＝4a，解之得x＝4－1. 【答案】　A 2．(2016·蚌埠高二檢測)某林廠年初有森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增長率生長，而每年末都砍伐固定的木材量x立方米，為實現(xiàn)經(jīng)過兩次砍伐后的木材的存量增加50%，則x的值是(　　) A. B． C. D． 【解析】　一次砍伐后木材的存量為S(1＋25%)－x；二次砍伐后木材存量為[S(1＋25%)－x](1＋25%)－x＝S－x－x＝S(1＋50%)，解得x＝. 【答案】　C 3．某企業(yè)在今年年初貸款a萬元，年利率為r，從今年年末開始償還一定金額，預計n年還清，則每年應償還(　　) A.萬元 B．萬元 C.萬元 D． 萬元 【解析】　設每年應償還x萬元，則 x[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋1]＝a(1＋r)n， x·＝a(1＋r)n， x＝萬元． 【答案】　B 4．某儲蓄所計劃從2013年起，每年儲蓄量比前一年增長8%，則2016年的儲蓄量比2013年的儲蓄量增長的百分比約為(　　) A．24% B．32% C．26% D．36% 【解析】　設2013年的儲蓄量為a，則2016年的儲蓄量b＝a(1＋8%)3，所以增長率p＝×100%＝(1.083－1)×100%≈26%. 【答案】　C 5．(2016·南昌高二檢測)某商場出售甲、乙兩種不同價格的筆記本電腦，其中甲商品因供不應求，連續(xù)兩次提價10%，而乙商品由于外觀過時而滯銷，只得連續(xù)兩次降價10%，最后甲、乙兩種電腦均以9 801元售出．若商場同時售出甲、乙電腦各一臺，與價格不升不降比較，商場贏利情況是(　　) A．少賺598元 B．前后相同 C．多賺980.1元 D．多賺490.05元 【解析】　設甲、乙兩種電腦的原價分別為m，n，則m(1＋10%)2＝9 801?m＝，n(1－10%)2＝9 801?n＝，(m＋n)－2×9 801＝9 801×－19 602＝20 200－19 602＝598.故選A. 【答案】　A 二、填空題 6．一條信息，若一人得知后，一小時內將信息傳給兩人，這兩人又在一小時內傳給未知信息的另外兩人．如此下去，要傳遍55人的班級所需時間大約為________小時． 【解析】　由題意，第n小時內有2n人得知消息，此時得知消息的總人數(shù)為1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1≥55，即2n＋1≥56，所以n＋1≥6，所以n≥5. 【答案】　5 7．(2016·上饒高二檢測)一個工廠的生產總值月平均增長率是p，那么年平均增長率為________． 【解析】　一年12個月，故1月至12月產值構成公比為1＋p的等比數(shù)列，設去年年底產值為a，∴a12＝a(1＋p)12，∴年平均增長率為＝(1＋p)12－1. 【答案】　(1＋p)12－1 8．今年，某公司投入資金500萬元，由于堅持改革、大膽創(chuàng)新，以后每年投入資金比上一年增加30%，那么7年后該公司共投入資金________萬元． 【解析】　設第n年投入的資金為an萬元， 則an＋1＝an＋an×30%＝1.3an，則＝1.3， 所以數(shù)列{an}是首項為500，公比為1.3的等比數(shù)列， 所以7年后該公司共投入資金S7＝＝＝(1.37－1)(萬元)． 【答案】　(1.37－1) 三、解答題 9．用分期付款的方式購買價格為25萬元的住房一套，如果購買時先付5萬元，以后每年付2萬元加上欠款利息．簽訂購房合同后1年付款一次，再過1年又付款一次，直到還完為止，商定年利率為10%，則第5年該付多少元？購房款全部付清后實際共付多少元？ 【導學號：67940027】 【解】　購買時先付5萬元，余款20萬元按題意分10次分期還清，每次付款數(shù)組成數(shù)列{an}，則a1＝2＋(25－5)·10%＝4(萬元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(萬元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(萬元)，…，an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝(萬元)(n＝1,2，…，10)．因而數(shù)列{an}是首項為4，公差為－的等差數(shù)列． a5＝4－＝3.2(萬元)． S10＝10×4＋＝31(萬元)． 因此第5年該付3.2萬元，購房款全部付清后實際共付36萬元． 10．家用電器一件，現(xiàn)價2 000元，實行分期付款，每期付款數(shù)相同，每期為一月，購買后一個月付款一次，每月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率為0.8%，按復利計算，那么每期應付款多少？(1.00812＝1.1)． 【解】　設每期應付款x元． 第1期付款與到最后一次付款所生利息之和為x(1＋0.008)11(元)． 第2期付款與到最后一次付款所生利息之和為x(1＋0.008)10(元)，… 第12期付款沒有利息． 所以各期付款連同利息之和為x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝x， 又所購電器的現(xiàn)價及其利息之和為2 000×1.00812， 于是有x＝2 000×1.00812， 解得x＝＝176(元)． 即每期應付款176元． [能力提升] 1．一群羊中，每只羊的質量數(shù)均為整千克數(shù)，其總質量為65千克，已知最輕的一只羊質量為7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克數(shù)恰能構成一等差數(shù)列，則這群羊共有(　　) A．6只 B．5只 C．8只 D．7只 【解析】　依題意除去一只羊外，其余n－1只羊的質量從小到大依次排列構成等差數(shù)列，設a1＝7，d＞0，Sn－1＝65－10＝55， 所以有(n－1)a1＋·d＝55， 即7(n－1)＋d＝55， 所以(n－1)＝55. 因為55＝11×5且(n－1)為正整數(shù)，為正整數(shù)， 所以解得n＝6. 【答案】　A 2．(2016·西安高二檢測)根據(jù)市場調查結果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此預測，在本年度內，需求量超過1.5萬件的月份是(　　) A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．8月、9月 【解析】　∵n個月累積的需求量為Sn，∴第n個月的需求量為 an＝Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＝(－n2＋15n－9)． an＞1.5，即滿足條件，∴(－n2＋15n－9)＞1.5， 6＜n＜9(n＝1,2,3，…，12)， 所以n＝7或8. 【答案】　C 3．(2016·寶雞高二檢測)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b(b＞a)以及實數(shù)x(0＜x＜1)，確定實際銷售價格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱為樂觀系數(shù)．經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項．據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于________． 【解析】　由已知，有(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即 x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2，∵b＞a，b－a≠0，∴x2＝1－x， 即x2＋x－1＝0，解得x＝，因為0＜x＜1，所以最佳樂觀系數(shù)x的值等于. 【答案】　 4．某企業(yè)投資1 000萬元用于一個高科技項目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年年底需要從利潤中取出資金200萬元進行科研、技術改造與廣告投入方能保持原有的利潤增長率，問經(jīng)過多少年后，該項目的資金可以達到或超過翻兩番(4倍)的目標？(取lg 2＝0.3) 【解】　設該項目逐年的項目資金數(shù)依次為 a1，a2，a3，…，an. 則由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N＋)， 即an＋1＝an－200. 令an＋1－x＝(an－x)，即an＋1＝an－， 由＝200，∴x＝800. ∴an＋1－800＝(an－800)(n∈N＋) 故數(shù)列{an－800}是以a1－800為首項，為公比的等比數(shù)列． ∵a1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050， ∴a1－800＝250，∴an－800＝250n－1， ∴an＝800＋250n－1(n∈N＋)． 由題意an≥4 000，∴800＋250n－1≥4 000，即n≥16. 兩邊取常用對數(shù)得nlg≥lg 16，即n(1－3lg 2)≥4lg 2. ∵lg 2＝0.3，∴0.1n≥1.2，∴n≥12. 即經(jīng)過12年后，該項目資金可以達到或超過翻兩番的目標．