精編數(shù)學同步優(yōu)化指導北師大版選修22練習：第1章 2.1、2.2 綜合法與分析法 活頁作業(yè)2 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學資料 活頁作業(yè)(二)　綜合法與分析法 1．在△ABC中，A，B所對的邊分別為a，b，且＝，則B＝(　　) A．30°　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：由正弦定理＝及條件＝知sin B＝cos B，則△ABC的內(nèi)角B＝45°. 答案：B 2．欲證－＜－只需證(　　) A．(－)2＜(－)2 B．(－)2＜(－)2 C．(＋)2＜(＋)2 D．(－－)2＜(－)2 解析：欲證－＜－，只需證＋＜＋，∵＋＞0，＋＞0， ∴只需證(＋)2＜(＋)2. 答案：C 3．若實數(shù)x，y，z滿足x2＋y2＋z2＝1，則xy＋yz＋zx的取值范圍是(　　) A．[－1,1] B． C． D． 解析：xy＋yz＋zx≤＋＋＝1， 2(xy＋yz＋zx)＝(x＋y＋z)2－(x2＋y2＋z2)≥0－1＝－1. 答案：B 4．已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝，y＝，則x，y的關(guān)系為(　　) A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．不確定 解析：取a＝1，b＝4，得x＝，y＝，此時x＜y， 猜想x＜y.用分析法證明如下： x＜y，即＜， ＜?＜a＋b?2＜a＋b?(－)2＞0?a≠b，且a，b∈(0，＋∞)， 而a≠b，且a，b∈(0，＋∞)恰是已知條件． 故x＜y. 答案：B 5．已知f(x)是實數(shù)集R上的函數(shù)，且對于任意實數(shù)x都有f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)恒成立，則函數(shù)f(x)的周期為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：∵f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)， ∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)． ∴f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)＝－f (x)． ∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)． ∴f(x)為周期函數(shù)，6是它的一個周期． 答案：B 6．將下面用分析法證明≥ab的步驟補充完整：要證≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證________，即證________，由于________顯然成立，因此原不等式成立． 答案：a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0 7．若a＋b＞a＋b，則實數(shù)a、b滿足的一個條件是___________． 解析：若a＋b＞a＋b，則a≥0，b≥0，不等式兩邊均大于或等于0.兩邊平方得：a3＋b3＋2ab＞a2b＋b2a＋2ab，即a3＋b3－a2b－b2a＞0，a2(a－b)＋b2(b－a)＞0，(a－b)(a2－b2)＞0，(a－b)2(a＋b)＞0，又a≥0，b≥0，故a＋b≥0，故a，b滿足的條件為a≥0，b≥0且a≠b.因而滿足上式的任一個關(guān)于a，b的條件均可． 答案：a≥0，b≥0且a≠b 8．當x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則m的取值范圍是________． 解析：∵x∈(1,2)， ∴x2＋mx＋4＜0?m＜－. 由y＝x＋在(1,2)上單調(diào)遞減，得y＜5， ∴－＞－5. ∴m≤－5. 答案：m≤－5 9．設a，b，c成等比數(shù)列，而x，y分別是a，b和b，c的等差中項，求證：＋＝2. 證明：由題意得c＝，x＝，y＝， 則＋＝＋＝＋＝ ＋＝＋＝2， 即＋＝2. 10．已知a＞0，求證： －≥a＋－2. 證明：要證 －≥a＋－2， 只要證 ＋2≥a＋＋. ∵a＞0， ∴只要證2≥2. 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 從而只要證 2≥， 只要證4≥2， 即證a2＋≥2，而上述不等式顯然成立， 故原不等式成立． 11．分析法又稱執(zhí)果索因法，則用分析法證明“設a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證＜a”索的因應是(　　) A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－c＞0 C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0 解析：要證明＜a，只需證b2－ac＜3a2，只需證(a＋c)2－ac＜3a2，只需證－2a2＋ac＋c2＜0，即證2a2－ac－c2＞0，即證(a－c)(2a＋c)＞0，即證(a－c)(a－b)＞0. 答案：C 12．設a＞0，b＞0，則下面兩式的大小關(guān)系為lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝ 2－(a＋b)≤0， ∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)， lg(1＋)2≤lg(1＋a)(1＋b)， 即lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 答案：≤ 13．已知x，y∈(0，＋∞)，a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，則a，b的大小關(guān)系是________． 解析：因為a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，所以a－b＝(x4＋y4)－(x3y＋xy3)＝(x3－y3)(x－y)＝(x－y)2(x2＋xy＋y2)≥0.故a≥b. 答案：a≥b 14．已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________． 解析：∵f(x)是偶函數(shù)， ∴f(x)＝f(|x|)． 又當x≥0時，f(x)＝x2－4x， 不等式f(x＋2)＜5?f(|x＋2|)＜5 ?|x＋2|2－4|x＋2|＜5 ?(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)＜0 ?|x＋2|－5＜0?|x＋2|＜5 ?－5＜x＋2＜5?－7＜x＜3. ∴解集為(－7,3)． 答案：(－7,3) 15．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：≤. 證明：a⊥b?a·b＝0， 要證≤， 只需證|a|＋|b|≤|a＋b|， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0， 上式顯然成立，故原不等式得證． 16．(2017·江蘇卷)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，對任意正整數(shù)n(n＞k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”． (1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”； (2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列． 證明：(1){an}是等差數(shù)列，設其公差為d， 則an＝a1＋(n－1)d.從而 當n≥4時，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”． (2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此 當n≥3時，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，① 當n≥4時，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④ 將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設其公差為d′. 在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′， 在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．