精編數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)北師大版選修22練習(xí)：第1章 3 反證法 活頁作業(yè)3 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學(xué)資料 活頁作業(yè)(三)　反證法 1．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)至少有一個(gè)鈍角 B．假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角 C．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角 D．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角 解析：“至多有一個(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，故選B． 答案：B 2．設(shè)a，b，c是正數(shù)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR＞0”是“P，Q，R同時(shí)大于零”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：必要性顯然成立．充分性：若PQR＞0，則P，Q，R同時(shí)大于零或其中兩個(gè)負(fù)的一個(gè)正的，不妨設(shè)P＜0，Q＜0，R＞0. 因?yàn)镻＜0，Q＜0，即a＋b＜c，b＋c＜a， 所以a＋b＋b＋c＜c＋a. 所以b＜0，這與a，b，c都是正數(shù)矛盾． 故P，Q，R同時(shí)大于零． 答案：C 3．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則a＋，b＋，c＋(　　) A．都不大于－2 B．都不小于－ 2 C．至少有一個(gè)不大于－2 D．至少有一個(gè)不小于－2 解析：對于C，可用反證法證明如下： 假設(shè)a＋＞－2，b＋＞－2，c＋＞－2同時(shí)成立，則＋＋＞－6， 這與＋＋＝＋＋≤－6矛盾． 答案：C 4．已知：x1＞0，x1≠1，且xn＋1＝(n＝1,2，3，…)．試證：數(shù)列{xn}或者對任意正整數(shù)n都滿足xn＜xn＋1，或者對任意的正整數(shù)n都滿足xn＞xn＋1.當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)，應(yīng)為(　　) A．對任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1 B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1 C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1 D．存在正整數(shù)n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0 解析：證明結(jié)論的含義是數(shù)列{an}為單調(diào)數(shù)列，因此對它的否定是數(shù)列{an}不為單調(diào)數(shù)列， 即為常數(shù)數(shù)列或存在不具備單調(diào)的項(xiàng)，故選D． 答案：D 5．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根 解析：至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒有實(shí)根，故要做的假設(shè)是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根”． 答案：A 6．對于定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，如果存在實(shí)數(shù)x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函數(shù)f(x)的一個(gè)好點(diǎn)．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好點(diǎn)，那么a的取值范圍是________． 解析：假設(shè)函數(shù)f(x)存在好點(diǎn)x， 即x2＋2ax＋1＝x， 即x2＋(2a－1)x＋1＝0. 所以Δ＝(2a－1)2－4≥0， 解得a≤－或a≥. 因此f(x)不存在好點(diǎn)時(shí)，a∈. 答案： 7．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C＞180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤． ②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角． ③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)∠A＝90，∠B＝90. 上述步驟的正確順序?yàn)開_______． 解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應(yīng)為③①②. 答案：③①② 8．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP.用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)分________和________兩類． 解析：∠BAP＜∠CAP的否定為∠BAP≥∠CAP，因此假設(shè)應(yīng)分兩類：∠BAP＝∠CAP和∠BAP＞∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP　∠BAP＞∠CAP 9．用反證法證明：已知a，b均為有理數(shù)，且和都是無理數(shù)，求證：＋是無理數(shù)． 證明：假設(shè)＋為有理數(shù)，則(＋)(－)＝a－b. 由a＞0，b＞0，得＋＞0. ∴－＝ . ∵a，b為有理數(shù)，且＋為有理數(shù)． ∴為有理數(shù)，即－為有理數(shù)． ∴(＋)＋(－)為有理數(shù)，即2為有理數(shù)． ∴應(yīng)為有理數(shù)，這與已知為無理數(shù)矛盾． ∴＋一定為無理數(shù)． 10．已知x＞0，y＞0，且x＋y＞2. 求證：，中至少有一個(gè)小于2. 證明：假設(shè)，都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x>0，y＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)． 即x＋y≤2，與已知x＋y＞2矛盾， 故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確． ∴，中至少有一個(gè)小于2. 11．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab能被5整除，那么a，b至少有一個(gè)能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是(　　) A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除 C．a(chǎn)不能被5整除 D．a(chǎn)，b有一個(gè)不能被5整除 解析：至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒有，故選B． 答案：B 12．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________． 解析：假設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有 解得 即－＜a＜－1. 所以當(dāng)a≥－1或a≤－時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根． 答案：a≥－1或a≤－ 13．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若關(guān)于x的不等式f(x－1)≥0的解集為[0,1]，則關(guān)于x的不等式f(x＋1)≤0的解集為___________． 解析：將函數(shù)y＝f(x－1)的圖像向左平移2個(gè)單位得到函數(shù)y＝f(x＋1)的圖像，不等式f(x－1)≥0的解集為[0,1]，所以y＝f(x－1)的圖像是開口向下的拋物線，與x軸的交點(diǎn)為(0,0)，(1,0)，所以不等式f(x＋1)≤0的解集為(－∞，－2]∪[－1，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[－1，＋∞) 14．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個(gè)關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個(gè)正確，則100a＋10b＋c等于____________． 解析：(1)若①正確，則②③不正確，由③不正確得c＝0，由①正確得a＝1，所以b＝2，與②不正確矛盾，故①不正確．(2)若②正確，則①③不正確，由①不正確得a＝2，與②正確矛盾，故②不正確．(3)若③正確，則①②不正確，由①不正確得a＝2，由②不正確及③正確得b＝0，c＝1，此時(shí)100a＋10b＋c＝1002＋100＋1＝201. 答案：201 15．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)． 求證：f(x)＝0無整數(shù)根． 證明：假設(shè)f(x)＝0有一個(gè)整數(shù)根k， 則ak2＋bk＝－c.① 又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數(shù)． ∴a＋b為偶數(shù)． 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，顯然與①式矛盾； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2n＋1(n∈Z)，則ak2＋bk＝(2n＋1)(2na＋a＋b)為偶數(shù)，也與①式矛盾，故假設(shè)不成立． 所以方程f(x)＝0無整數(shù)根． 16．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，且當(dāng)x0≥1，f(x0)≥1時(shí)，有f(f(x0))＝x0，求證：f(x0)＝x0. 證明：假設(shè)f(x0)≠x0， 則必有f(x0)＞x0或f(x0)＜x0. 若f(x0)＞x0≥1，由f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，得f(f(x0))＞f(x0)． 又f(f(x0))＝x0，∴f(x0)＜x0，與假設(shè)矛盾． 若x0＞f(x0)≥1，同理，得f(x0)＞f (f(x0))． 又f(f(x0))＝x0，∴x0＜f(x0)，也與假設(shè)矛盾． 綜上所述，當(dāng)x0≥1，f(x0)≥1，且f(f(x0))＝x0時(shí)，f(x0)＝x0.