精編數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)北師大版選修22練習(xí)：第1章 4 數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第一章　4 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假設(shè)當(dāng)n＝2k＋1時正確，再推當(dāng)n＝2k＋3時正確 B．假設(shè)當(dāng)n＝2k－1時正確，再推當(dāng)n＝2k＋1時正確 C．假設(shè)當(dāng)n＝k時正確，再推當(dāng)n＝k＋1時正確 D．假設(shè)當(dāng)n≤k(k≥1)時正確，再推當(dāng)n＝k＋2時正確(以上k∈N＋) 解析：因為n為正奇數(shù)，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步應(yīng)先假設(shè)第k個正奇數(shù)成立，即假設(shè)當(dāng)n＝2k－1時正確，再推第(k＋1)個正奇數(shù)即當(dāng)n＝2k＋1時正確． 答案：B 2．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(1)為(　　) A．1　　　　　　　　　　 B． C．1＋＋＋＋ D．非以上答案 解析：∵f(n)＝1＋＋＋…， ∴f(1)＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋. 答案：C 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少應(yīng)取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8. 答案：B 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的過程如下： ①當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1， 則當(dāng)n＝k＋1時， 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1， 所以，當(dāng)n＝k＋1時等式成立． 由此可知，對任何n∈N＋，等式都成立． 上述證明錯誤的是________． 解析：當(dāng)n＝k＋1時正確的解法是 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1， 即一定用上第二步中的假設(shè)． 答案：沒有用上歸納假設(shè)進(jìn)行遞推 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明： …＝(n≥2，n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝1－＝，右邊＝＝，∴左邊＝右邊．∴n＝2時等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時等式成立， 即…＝， 那么n＝k＋1時，利用歸納假設(shè)有： … ＝＝ ＝＝， ∴即n＝k＋1時等式也成立． 由(1)和(2)，可知對任意n≥2，n∈N＋等式恒成立．