高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 數(shù)學(xué)歸納法 第二課時(shí)參考教案

2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 數(shù)學(xué)歸納法 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、使學(xué)生了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)。 2、掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題。 3、培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想。 4、努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率。 5、通過對(duì)例題的探究，體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神。 二、教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。 教學(xué)難點(diǎn)：明確數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的必要性并正確使用。 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí)： 1、數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法 2、數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0，k∈N*)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立. 3、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟： (1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確； (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確. 由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確 （二）、探究新課 例1、求證：能被9整除，。 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，36能被9整除，命題成立； （2）假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，命題成立，即能被9整除。 當(dāng)n＝k+1時(shí)， 由假設(shè)可知，上式的兩部分都能被9整除。 故n＝k+1時(shí)，命題也成立。 根據(jù)（1）和（2）可知對(duì)任意的，該命題成立。 證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，可采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證。 例2、證明：凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)。 證明：（1）當(dāng)n=4時(shí)，，四邊形有兩條對(duì)角線，命題成立。 （2）假設(shè)n＝k(k≥4)時(shí)，命題成立，即凸k邊形的對(duì)角線的條數(shù). 當(dāng)n＝k+1時(shí)，凸k+1邊形是在k邊形的基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個(gè)頂點(diǎn)，增加的對(duì)角線條數(shù)是頂點(diǎn)與不相鄰頂點(diǎn)連線再加上原k邊形的一邊，共增加的對(duì)角線條數(shù)為：（k+1-3）+1=k-1 ∴。 故n＝k+1時(shí)，命題也成立。 根據(jù)（1）和（2）可知對(duì)n≥4，公式都成立。 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析，在實(shí)在分析不出來的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。 例3、已知數(shù)列滿足，，試猜想的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 解：由和，得 ，， ，， …… 歸納上述結(jié)果，可得猜想。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想。 （1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊，右邊，等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，等式成立，即成立。 那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)， 。 這就是說，當(dāng)n＝k+1時(shí)等式成立。 根據(jù)（1）和（2），可知猜想對(duì)任意正整數(shù)n都成立。 探索性命題的求解一般分三步進(jìn)行：①驗(yàn)證p⑴，p⑵，p⑶，p⑷，…；②提出猜想；③用數(shù)學(xué)歸納法證明。 （三）、小結(jié)：使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)需要注意：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題；（2）在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可。 （四）、練習(xí)：課本練習(xí). （五）、作業(yè)：課本習(xí)題1-4：2. 五、教后反思：