高中數(shù)學北師大版選修22教案：第3章 導數(shù)的實際應(yīng)用 第二課時參考教案

2019版數(shù)學精品資料（北師大版） 第二課時 導數(shù)的實際應(yīng)用（二） 一、教學目標： 1、使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用； 2、提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。 二、教學重點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 教學難點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 三、教學方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學過程： （一）．創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題． （二）．新課探究 導數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面： 1、與幾何有關(guān)的最值問題； 2、與物理學有關(guān)的最值問題； 3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題； 4、效率最值問題。 解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具． 利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 解決數(shù)學模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學問題 優(yōu)化問題 用導數(shù)解決數(shù)學問題 優(yōu)化問題的答案 建立數(shù)學模型 （三）．典例分析 例1、海報版面尺寸的設(shè)計 學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最?。? 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為 。 求導數(shù)，得 。 令，解得舍去）。 于是寬為。 當時，<0；當時，>0. 因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。 答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。 例2、飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 （1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？ 【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm 問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最?。? 解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去） 當時，；當時，． 當半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高； 當半徑時， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低． （1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值． （2）半徑為cm時，利潤最大． 換一個角度：如果我們不用導數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？ 有圖像知：當時，，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值． 當時，，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最?。? （四）．課堂練習 1．用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．（高為1.2 m，最大容積） 2．課本P65 練習題 （五）．回顧總結(jié)建立數(shù)學模型 ：1．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 解決數(shù)學模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學問題 優(yōu)化問題 用導數(shù)解決數(shù)學問題 優(yōu)化問題的答案 2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導數(shù)往往是一個有利的工具。 （六）．布置作業(yè)：1、一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b. 解：由梯形面積公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b ∴AD=h+b, ∴S= ① ∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=×2+b ② 由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)= l′==0,∴h=, 當h<時，l′<0,h>時，l′>0. ∴h=時，l取最小值，此時b= 2、已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y ＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長． 【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為（x，y），且x ＞0，y ＞0， 則另一個在拋物線上的頂點為（－x，y），在x軸上的兩個頂點為（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．設(shè)矩形的面積為S，則S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝，易知x ＝是S在（0，2）上的極值點，即是最大值點， 所以這種矩形中面積最大者的邊長為和． 【點評】應(yīng)用題求解，要正確寫出目標函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件．應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值． 五、教后反思：