高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 解題思想方法：反證法

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1、2019版數(shù)學(xué)精品資料（北師大版） 反證法 與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。 法國數(shù)學(xué)家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。 具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。 反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律

2、”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。 反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理

3、→否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。 應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立。 實施的具體步驟是： 第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)； 第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾； 第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。 在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有

4、的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。 在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組： 1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)＝0 ______。 A.至多一個實根 B.至少一個實根 C.一個實根 D.無實根 2. 已知a<0,

5、－1ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a 3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b為異面直線，則_____。 A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交 C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交 4. 四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_____。(97年全國理) A. 150種 B. 147種 C. 144

6、種 D. 141種 【簡解】1小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個選擇項逐一成立，導(dǎo)出其中三個與特例矛盾，選A； 2小題：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，選D； 3小題：從逐一假設(shè)選擇項成立著手分析，選B； 4小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：C－C4－3－6,選D。 Ⅱ、示范性題組： 例1. 如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點。求證：AC與平面SOB不垂直。 【分析】結(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定“不垂直”。 【證明】 假設(shè)AC⊥平面SOB， ∵ 直線SO在平面SOB內(nèi)，

7、 ∴ AC⊥SO， ∵ SO⊥底面圓O， ∴ SO⊥AB， ∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圓O， 這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立。 即AC與平面SOB不垂直。 【注】否定性的問題常用反證法。例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾。 例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一個方程有實根。試求實數(shù)a的取值范圍。 【分析】 三個方程至少有一個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根。先求出反面情況時a的范圍，再所得范圍的補集就是正面情況的答案。 【解】 設(shè)三個方

8、程均無實根，則有： ,解得,即－

9、分析】“不平行”的否定是“平行”，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)。 【證明】 ① 設(shè)M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個不同的點，則x≠x,假設(shè)直線MM平行于x軸，則必有y＝y(tǒng)，即＝，整理得a(x－x)＝x－x∵x≠x ∴ a＝1， 這與已知“a≠1”矛盾， 因此假設(shè)不對，即直線MM不平行于x軸。 ② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y(tǒng)－1,所以x＝， 即原函數(shù)y＝的反函數(shù)為y＝，圖像一致。 由互為反函數(shù)的兩個圖像關(guān)于直線y＝x對稱可以得到，函數(shù)y＝的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖像。 【注】對于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的

10、情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過正確無誤的推理，導(dǎo)出與已知a≠1互相矛盾。第②問中，對稱問題使用反函數(shù)對稱性進行研究，方法比較巧妙，要求對反函數(shù)求法和性質(zhì)運用熟練。 Ⅲ、鞏固性題組： 1. 已知f(x)＝，求證：當x≠x時，f(x)≠f(x)。 2. 已知非零實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，a≠c，求證：、、不可能成等差數(shù)列。 3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于 。 4. 求證：拋物線y＝－1上不存在關(guān)于直線x＋y＝0對稱的兩點。 5. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個根的絕對值均小于1。 6. 兩個互相垂直的正方形如圖所示，M、N在相應(yīng)對角線上，且有EM＝CN，求證：MN不可能垂直CF。