【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第5篇 第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第5講　數(shù)列的綜合應(yīng)用 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．(20xx昆明調(diào)研)公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且－3a1，－a2，a3成等差數(shù)列，若a1＝1，則S4＝ (　　)． A．－20　　 B．0　　 C．7　　 D．40 解析　記等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，依題意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，則S4＝＝－2

2、0. 答案　A 2．若－9，a，－1成等差數(shù)列，－9，m，b，n，－1成等比數(shù)列，則ab＝(　　)． A．15　　 B．－15　　 C．15　　 D．10 解析　由已知得a＝＝－5， b2＝(－9)(－1)＝9且b<0，∴b＝－3，∴ab＝(－5)(－3)＝15. 答案　A 3．(20xx寶雞模擬)數(shù)列{an}滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N＋)，它的前n項(xiàng)和為Sn，則滿足Sn>1 025的最小n值是 (　　)． A．9　　 B．10　　 C．11　　 D．12 解析　因?yàn)閍1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N＋)，所以an

3、＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，則滿足Sn>1 025的最小n值是11. 答案　C 4．已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝ (　　)． A．35　　 B．33　　 C．31　　 D．29 解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知， a2a3＝a1a4＝2a1，即a4＝2. 由a4與2a7的等差中項(xiàng)為知，a4＋2a7＝2， ∴a7＝＝.∴q3＝＝，即q＝. ∴a4＝a1q3＝a1＝2，∴a1＝16， ∴S5＝＝31. 答案　C 5．(20xx贛州模擬)設(shè)y＝f(x)是

4、一次函數(shù)，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于 (　　)． A．n(2n＋3)　　 B．n(n＋4) C．2n(2n＋3)　　 D．2n(n＋4) 解析　由題意可設(shè)f(x)＝kx＋1(k≠0)，則(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(22＋1)＋(24＋1)＋…＋(22n＋1)＝2n2＋3n. 答案　A 二、填空題 6．(20xx紹興調(diào)研)已知實(shí)數(shù)a1，a2，a3，a4構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，且a1，a3，a4構(gòu)成等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比等于__

5、______． 解析　設(shè)公差為d，公比為q. 則a＝a1a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)， 解得a1＝－4d，所以q＝＝＝. 答案　 7．(20xx江西卷)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹(shù)不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________． 解析　每天植樹(shù)棵數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{an}， 其中a1＝2，q＝2.則Sn＝＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102. ∴n≥6，∴最少天數(shù)n＝6. 答案　6 8．(20xx山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}前n項(xiàng)之積，則

6、A2 013＝________. 解析　由a1＝3，an－anan＋1＝1，得an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝－，a4＝3，所以{an}是以3為周期的數(shù)列，且a1a2a3＝－1，又2 013＝3671，所以A2 013＝(－1)671＝－1. 答案?。? 三、解答題 9．(20xx杭州模擬)設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)令bn＝nan，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由已知，得解得a2＝2. 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a

7、2＝2，可得a1＝，a3＝2q. 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或.由題意得q＞1，所以q＝2.則a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－1. (2)由于bn＝n2n－1，n＝1,2，…， 則Tn＝1＋22＋322＋…＋n2n－1， 所以2Tn＝2＋222＋…＋(n－1)2n－1＋n2n， 兩式相減得－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n2n＝2n－n2n－1， 即Tn＝(n－1)2n＋1. 10．(20xx銅川模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋4，數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，

8、 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，求證：＋＋…＋≥. (1)解　a1＝f(d－1)＝d2－4d＋7，a3＝f(d＋1)＝d2＋3， 又由a3＝a1＋2d，可得d＝2，所以a1＝3，an＝2n＋1. (2)證明　Sn＝＝n(n＋2)， ＝＝， 所以，＋＋…＋ ＝ ＝≥＝. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx福州模擬)在等差數(shù)列{an}中，滿足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，若Sn取得最大值，則n＝ (　　)． A．7　　 B．8　　 C．9　　 D．10

9、 解析　設(shè)公差為d，由題設(shè)3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 所以d＝－a1<0. 解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0， 所以n<，則n≤9， 當(dāng)n≤9時(shí)，an>0，同理可得n≥10時(shí)，an<0. 故當(dāng)n＝9時(shí)，Sn取得最大值． 答案　C 2．已知f(x)＝bx＋1是關(guān)于x的一次函數(shù)，b為不等于1的常數(shù)，且g(n)＝設(shè)an＝g(n)－g(n－1)( n∈N＋)，則數(shù)列{an}為 (　　)． A．等差數(shù)列　　 B．等比數(shù)列 C．遞增數(shù)列　　 D．遞減數(shù)列 解析　a1＝g(1)－g(0)＝f[g(0)]－g(0)＝b＋1－1＝b，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝g(n)－g(n－

10、1)＝f[g(n－1)]－f[g(n－2)]＝b[g(n－1)－g(n－2)]＝ban－1，所以{an}是等比數(shù)列． 答案　B 二、填空題 3．(20xx浙江五校聯(lián)考)設(shè)x為實(shí)數(shù)，[x]為不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，記{x}＝x－[x]，則{x}的取值范圍是[0,1)，現(xiàn)定義無(wú)窮數(shù)列{an}如下：a1＝{a}，當(dāng)an≠0時(shí)，an＋1＝；當(dāng)an＝0時(shí)，an＋1＝0.如果a＝，則a2 013＝________. 解析　由題意可得a1＝－1，a2＝＝，a3＝＝－1，a4＝＝，…，所以數(shù)列{an}是周期為2的數(shù)列，所以a 2 013＝a1＝－1. 答案?。? 三、解答題 4．已知等比數(shù)列{a

11、n}滿足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值． 解　 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意，有 即 由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2. 當(dāng)q＝1時(shí)，不合題意，舍去； 當(dāng)q＝2時(shí)，代入②得a1＝2，所以an＝22n－1＝2n. 故所求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n(n∈N＋)． (2)bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n. 所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) ＝－＝2n＋1－2－n－n2. 因?yàn)镾n－2n＋1＋47<0， 所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0， 即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10. 因?yàn)閚∈N＋，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.