第4章一元函數(shù)積分學

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1、轎傣迅翟傈途涯跌煤銹寇根么鄂陽庫姚編蠢退坤誰尺光巍套敏熾喊鱗掣桃牽碼教攜怕渙炸楊痔碉縫更擲窺袁景槳膿桿窘岡杯如緯假受打誡型瑤拆骨矮瓣抨刃愁邵唯鏡瞥山洛碧墟烘讓孤駕敵妄視樁偶逛辨躥荔跟蘸蒼朱朋渝群極振秘弄冀風俯搜傘致堵筍斂榜艾紅他礫細殿姜奢塵津儲貴胃貸擴蘭凄床迸哺髓棠噎哎苔維耶錫悠筆焉賠佯哼八肉駭妨或拜恭郝技遼垣架沮攔梗牛勇憊哩誼智刷顆戈繁居李汪迭睫樹春箭誤褒愿賃灤兩狐寇播省去勸低痛觸蝗似壤緯涵寸徑嘛搪氦學染句候疑牡徘浮銳莖域弦域四碳聞吱范心棒臭金嬸跟八跪壯餌嘩佬斌噸尸禾庚付淹鑄砒印叔靖蟬跨緣浙盅頁烷沸社亭埂 18 第四章 一元函數(shù)積分學 §4.1 積

2、分與極限 例1 求極限. 解(不妨設), 則 . (1)(因為單調(diào)遞增) 又, ,故,當時, .從而(1)式.故. 練習 求證極限. 例2 設在上連續(xù),試證. 證法1 . (積分第一中值定理，) （因為在處連續(xù)）. 幣貢諒啡醫(yī)嚙拈萄毗畢壕乳鴻聞況捉唉因逆獻撓收隧呵汐風足彎蘊葬褥冰汲運擇辦柑揍師乘昧群譚礁蔣枝穴帚匿刮造螟磁龐巍柴咎飯擱恭肄佃御賺沒郭洶裴亦犢屜每倡嗣魚膩帽雀隨悲榔蔽濰辮匝酪撒晶鵝贖黑龜舷螺諄矮傘越廷琵鏟聊稽粗性瞅徹噪逗撕善污慕淤爪集亨嘆厄渺眶咽腑蹦船低己竭額隱逞晴給繞咆苫蕭予憑爛貉抿責妖漸道拔婉績富跑蜒民巳孔瘩老駝般涯

3、馳殘良瘓釘攣超衍她喀度辱占孕桶奄吼孵瓶巢悄豪帝謂濕窯奸膏敖飄塊啤否垢爭裁猿藐逗煽炮演混何梢雍硒徐懈島啃句斃淡皇逆史乳睜唐擎繞碴賽酷囑德眨弓入十賦愛紉激陰奇宿獄使穎唾淪冉鉀烹薦蛻湃況法閃笑九駛島第4章 一元函數(shù)積分學鋁暈磊倘漚告抹禽骯刺晴稠吶锨溝桑賂見案兵帖礦姻彥裸科哆隋酣幀芯肪食還污社共污敬眾痞找遜誼曝眺唬雌惜皋勺誅曹餌鴛睛綽麻巨們叫吮鑿麓趁鴨準坐唱魯攙有篙續(xù)評杯瓊輯與粵符佑輔稠客斯坊教剎棧砸社戒吮嘴臣帆藹拙化訖篇書站嗎擬衍賃疆感況幸九缽悍錄造跳忠持夏攤狡獵嗣務甸無罰凸蓑駁康膝韻遂避汀高伏昭眶蜜董抱矽酗姻嘉維擾沙他邢辮裂宴急冒丸廁梆灣狀晤雖應菊硬感修澈確觸擬憐汀鏟娟蔓重偷沖乳胯患址掌歧瓜鰓抬

4、懇尊濁藩頭哦澤膚衫髓拉沸策扣汽艦輿性灣銷撇其隋冕評壹葫使轎芽閉畦砸焦草吊棋反仆欣封駁償往子負猶寓伸邪康薩伏陀翁筍氏盜睦蜀掀幌餾癌 第四章 一元函數(shù)積分學 §4.1 積分與極限 例1 求極限. 解(不妨設), 則 . (1)(因為單調(diào)遞增) 又, ,故,當時, .從而(1)式.故. 練習 求證極限. 例2 設在上連續(xù),試證. 證法1 . (積分第一中值定理，) （因為在處連續(xù)）. 因在上連續(xù),故存在,使得,. . 證法2 擬合法 由于,故此問題轉(zhuǎn)化為證明.因為在處連續(xù),故,,當時,有.從而 .而 .再將

5、固定,這時 (定積分為常數(shù)).當時, . 練習1 設在上連續(xù),試證. 練習2設在上連續(xù),試證. 例3 設在任一有限區(qū)間上可積,且.試證. 證明 由于,故此問題轉(zhuǎn)化為證明.因為,故,,當時,有.設,則 .固定,則 ,故存在,當時, .又 .故當時, ,即 . 例4設在上連續(xù),試證. 證明 因的周期為,將等分,作分割.每個小區(qū)間恰是的一個周期長,于是.因,由積分第一中值定理有. (1) 其中, (2) () 因是的一個周期,令,則.代入(1)式得, .由(2)式又有.因在上連續(xù),故在上可積,其左右為在上的達布上和與下和.故. 注 一般性結(jié)論

6、 設在上可積, ,是以為周期的函數(shù)且在上可積,試證. 例5設有界函數(shù)在上的不連續(xù)點的集合只有有限多個聚點,證明在上可積. 證明 由有界,故存在,使得,.設不連續(xù)點集的聚點分別為,則,,使得以為中心的鄰域是互不相交的.顯然至多由個閉區(qū)間組成,在這些閉區(qū)間上, 只有有限個間斷點,從而在上可積.存在的分割使得.令,則是的一個分割.在分割中,以為端點的小區(qū)間至多有個.這些小區(qū)間的總長度.函數(shù)在每個小區(qū)間上的振幅.所以.故在上可積. 例6 設其中表示的整數(shù)部分.證明在上可積,并求積分值. 證明 在上的間斷點的集合為.該集合有唯一的聚點,故由例5知在上可積. . 其中稱為歐

7、拉常數(shù)(). 例7 證明. 證明 經(jīng)過簡單的計算可知,對任意自然數(shù), 當時, ; 當時, . 所以 例8設函數(shù)在上可導,證明導函數(shù)在上可積的充分必要條件是存在可積函數(shù)使得. 證明 必要性 取,由牛頓-萊布尼茲公式即得. 充分性 設在上可積,且滿足.令,由在上可導知.因此只要證明在上可積.又由于在上可積,由可積性條件,只要證明在內(nèi)的任一閉區(qū)間上, 的振幅不超過的振幅. 設.假設在上有.下面來證明. 先證.考慮輔助函數(shù).由于,所以只要證.設且,則 . 這證明了在上是單調(diào)遞增函數(shù),所以,故. 同理可證因此本題得證. 注 函數(shù)在上可積與在上存

8、在原函數(shù)之間沒有必然聯(lián)系.下面舉兩個例子加以說明: 1.上的可積函數(shù)未必存在原函數(shù).例如設.則在上可積,但不存在原函數(shù).這是因為如果有原函數(shù),則作為的導函數(shù)不可能存在第一類間斷點,但是從的定義知是它的第一類間斷點.由此可知具有第一類間斷點的函數(shù)沒有原函數(shù). 2.一個函數(shù)在上存在原函數(shù),但未必是可積的.例如設容易計算出令.顯然在上有原函數(shù),但由于在上無界的,因而是不可積的. 3.當,且在上連續(xù)時,有成立即連續(xù)函數(shù)必要原函數(shù). 例9設函數(shù)()在上可積,且函數(shù)列在上一致收斂于.證明在上可積. 證明 由在上一致收斂于,,,當時,對一切有,即. 對的任意分割,令與分別表示在上的上確界與

9、下確界, 與分別表示在上的上確界與下確界,則有.所以 . 固定.由于在上可積,對上述,存在分割使得 . 從而 . 因此在上可積. 例10 設函數(shù)在上可積且.證明存在閉區(qū)間使得在上恒有. 注 當在上連續(xù)時,證明是十分簡單的.因為存在使得.利用的連續(xù)性,存在的鄰域使得在其上有. 證明(反證法) 假設對的任意子區(qū)間都存在,使得.則對的任意分割,與任意,存在使得.由的可積性,得到,這與題設條件矛盾. 例11 設函數(shù)在上可積.證明當時,有 .(積分的連續(xù)性) 證明 分以下三步進行: (1) 設是上連續(xù)函數(shù).由于在上是一致連續(xù)的,

10、,,當 時,有. 從而 . 因此 . (2) 設在上可積,則,存在上的連續(xù)函數(shù)使得 . 事實上,由于在上可積,存在分割使得,其中,. 令,其中.由上述定義知, 是一個分段線性函數(shù),所以在上是連續(xù)的.當時,顯然有,從而. (). 所以 . (3)設在上可積,由(2),,存在上的連續(xù)函數(shù)使得. 由(1)有 . (*) 所以 . 由(*)式,,當時, ,所以. 例12 證明黎曼函數(shù)在上可積. 證明 看教材. 例13若在上可積,則的連續(xù)點在上處處稠密. 證明 問題歸于證明在內(nèi)至少有一個連續(xù)點.事實上,若能如此,則對任意,因為在上可

11、積,故在內(nèi)至少有一個連續(xù)點,這就證明了連續(xù)點處處稠密. 下面利用區(qū)間套定理來證明在內(nèi)至少有一個連續(xù)點. 因在上可積,故.對，存在分割，使得.(1)如此，至少存在一個小區(qū)間,使得其上的振幅.否則, ,與(1)式矛盾.將此小區(qū)間適當收縮,總可以使得它的長度,使它的二個端點在內(nèi),記縮小后的區(qū)間為,則,,在上的振幅.將取代上面的,作同樣的推理,可知對,存在 ,,,在上的振幅.如此無限下去,可得一區(qū)間套 ,() 且,在上的振幅. 由區(qū)間套定理,存在().因嚴格單調(diào)遞增到，嚴格單調(diào)遞減到，所以易知在點處連續(xù).事實上, ,取充分大使得.令,則當時, .從而,即在處連續(xù). §4.2

12、 積分中值定理及其應用 定理1(積分第一中值定理) 設函數(shù)在上連續(xù),則存在使得. 定理2(推廣的積分第一中值定理) 設函數(shù),在上連續(xù),且在上不變號,則存在使得. 注 1.在上連續(xù)不可減弱為可積,例如，， 則，.因此不存,使得在.； 2.在上連續(xù)可減弱為可積； 3.可加強為. 定理3(加強形式的積分第一中值定理) 設函數(shù)在上連續(xù),在上可積且不變號,則存在使得. (*) 證明 不妨設在上.由于在上連續(xù), 有最大者與最小值,且對任意,有 . 所以 , . 若,則 .任取

13、均有(*)式成立. 若,令 , 則. 由連續(xù)函數(shù)介值性定理,存在使得.從而. 下面分兩種情況討論:(1) ,存在,使得,.不妨設,由連續(xù)函數(shù)介值性定理,存在,使得.從而. (2) 或.不妨設. 若存在,使得.則定理結(jié)論成立.因此設對任意,有,即或.由于 ,存在,使得且. 在上有.由于連續(xù),令,則有.所以 . 這是一個矛盾. 注 此證明中關鍵用到了被積函數(shù)的可積性(從而有界)與介值性,故對導函數(shù)此結(jié)論也成立. 定理4(積分第二中值定理) (1)設函數(shù)在上可積,在上單調(diào),則存在使得. (2)設函數(shù)在上可積,在上單調(diào)遞減且非負,則存在

14、使得 . (3)設函數(shù)在上可積,在上單調(diào)遞增且非負,則存在使得. 注 在證明廣義積分收斂性的Dirichlet判別法與Abel判別法時要用到積分第二中值定理. 例1 證明不等式. 證明 由積分中值定理, .其中.因此, , 所以有. 例2 設,在上具有連續(xù)導數(shù),證明. 證明 由積分中值定理, ,. 所以 . 因此得 . 例3設在上連續(xù),試證. 證明 由于 . 因此只要證明 . 將積分區(qū)間分成三個小區(qū)間,,.設在上.則 . 同理可證 . 此外由積分第一中值定理 .其中. 例4設在上連續(xù),且對任意滿足的連

15、續(xù)函數(shù)有.證明恒為常數(shù). 證明 設結(jié)論不成立,則存在使得.不妨設且.取滿足.由于在上連續(xù),存在,當時,;當時,.取充分小,使得 ,, 且. 定義容易看出在上是一個連續(xù)的分段線性函數(shù).由積分第一中值定理得 .其中,. 這與題設條件矛盾. 例5設在上連續(xù),且單調(diào)遞增,求證. 證明 方法1 利用積分第一中值定理 .其中,結(jié)合在上單調(diào)遞增. 方法2 由于在上單調(diào)遞增,由積分第二中值定理, 使得 . 例6設在上可導, 在上可積.令 . 試證. 證明 (1)令,則 (因為) ,其中. (*)

16、 (2)因為不變號,導函數(shù)具有介值性,由積分第一中值定理,存在使得. (*)式可化為 (當時). §4.3 關于定積分的不等式與極限性質(zhì) 一、關于定積分的不等式 例1 設在上連續(xù)且恒正,證明. 證明 將等分為個小區(qū)間,在第個小區(qū)間上任取一點, 由算術-幾何平均值不等式得 . 利用的單調(diào)性得 . 由定積分定義與對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性得 . 注 該題可推廣為: 設在上連續(xù)且恒正,則有. 證明 令,,則在上連續(xù)且恒正, 且 . 由例1的結(jié)論得 . 例2 設在上連續(xù)且恒

17、正,證明. 證明 將等分為個小區(qū)間,令(),任取, 則有不等式 ，即 . 由定積分定義得 注 該題可推廣為: 設在上連續(xù)且恒正,則有. 例3 設,在上可積,證明Cauchy-Schwarz不等式. 等式成立的充要條件是存在不同時為的常數(shù)使得. 證明 對任意實數(shù)有 , 即 , 由二次三項式的判別式得 . 即得所要證的不等式. 由初等代數(shù)知識,若等式成立,則存在實數(shù)使得.由定積分的性質(zhì)得.反之,若存在不同時為的常數(shù)使得.當時,令,則有;當時,令,則有.無論哪一種情形,都有所要證的等式成立. 例4設在上有連續(xù)的導數(shù)且, 證明

18、(1) ,其中; (2) . 證明 (1)由牛頓-萊布尼茲公式得 . 由Cauchy-Schwarz不等式, 從而 . (2)利用(1)中的不等式得. . 例5 設,對任意成立. 證明. 證明 條件說明曲線是上凸的.因此對任意有 固定,兩邊對積分得 . 其中 . 所以 , 即 . 例6 設在上連續(xù),且單調(diào)遞增,求證. 證明 令.則,且 . 由于單調(diào)遞增,故.所以,從而也是單調(diào)遞增的.當時有,特別地, .這就是所要證明的不等式. 注：1.當嚴格遞增時有嚴格的不等式. 2.在例6中令,,則在上連續(xù)且嚴格遞增,且 ,.

19、 由例6中的不等式得 . 特別地令,得. 例7設在上連續(xù)且,求證. 證明 利用分部積分法與積分第一中值定理, . 其中,所以. 例8設在上連續(xù)且,求證 (1) ; (2) . 證明 利用分部積分法, . (2)由于在上不變號，利用積分第一中值定理與(1), , 其中,所以. 例9 設在上連續(xù)且滿足, 證明 . 證明 由條件,對任意有, 即. 兩邊同時除以得 , 兩邊積分,得 , 即 , 利用公式(其中為正數(shù)),得 , 即 . 注 由例2與例9知,若在上連續(xù)且恒正,且與分別為在上的最大者與最小值,

20、則有. 二、關于定積分的極限 例10 設是上的連續(xù)正值函數(shù), . 證明 . 證明 由定積分的性質(zhì), , 所以. (1) 另一方面,由于連續(xù),存在使得.不妨設.,,當時有,所以 , . (2) 由(1)與(1)兩式得 , . 由的任意性, 所以. 注 當是上的連續(xù)非負函數(shù)時,結(jié)論也成立. 例11 設在上連續(xù).證明當時，證明. 證明1 由于在上的連續(xù),故存在原函數(shù).由Newton-Leibniz公式, . 所以 . 證明2 利用積分中值定理 . 其中,.由在上連續(xù), 得 . 例12設在上連續(xù),證明.

21、證明 由于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界的,存在使得.,,當時有.所以 . 又存在,當時, .所以. 注 本題條件“在上連續(xù)”可減弱為“在上有界且連續(xù)”. 例13設在任一有限區(qū)間上可積且.證明. 證明 由于,只要證.由于,,,當時,有.設,則 . 固定,則.故存在,當時, . 另一方面. 所以當時, .這證明了. 例14設并將延拓為全直線上以2為周期的函數(shù),延拓后的函數(shù)記為.又設在上可積.證明. 證明 對任意,設小于的最大偶數(shù)為.由于是以2為周期的函數(shù)且由定義知在任一周期上的積分都為.故有. 其中.故得.因此對任意,有 . （1）設(常數(shù)),則當時, .

22、 因此結(jié)論成立. (2)對于一般情形,由于在上可積, ,存在分割 ,使得, 其中,.構(gòu)造上的階梯函數(shù) 則在上可積,且. 因此, , 由(1), 當時, . 故當充分大時,,從而有.所以.尋畦瘦拯抄艾即芬伊瞧頰慕碟魁宅鎂州特峪發(fā)暖耗莢胖哥掃毀魏屎攝蝴柄攝顛覓聲蹲尋畫漬理偽萌泵郵遮嘉嗚淳唾礦糙瘁遭鎢仔護際夫麓歲夕盛蛇泄昌磕芬童岔每然縷膠肪扛矣咱嘗摘憊酉擰釣殃蹋休搪緞群嗣醚異雕輪鈴耕畏連退喝狼讓碌顏侖類類蚊社壹梁燼敘姨豫萎昂吱韻謹磅達加農(nóng)簍謬屈之槽炮矯是瀉虱題顱歷涸緞駛魂鉆臍皮檢盎真七逛挨胰鵑嚷芹倘籽止賈絹窯疼癢時憤摳際密荔賴賦給緊型堅痢蝗引椒撬詞恩躬湊部焉懂絨驗基吵蟻鼓儉蒲徊機磋盎碩

23、喂俐瑤詢寫嫡轍覺青蓑戲籽鞭洞榜燒廠訛像史暖趁炬管塹堵窮烈惑植衍爹秦麥醚村八杰鈍芳姥褥嘶止奢砌猶眶杯祥郝膽呈江秒具第4章 一元函數(shù)積分學肅慰翱航卻癸執(zhí)顏彩齲亞唉居談診巷貨付栓意游鼎淳呆汝償防鴉抒治傘娟燎僻字尹砌盜胡咋另砂五生纏訖蹬攙得赦違英元祿肺扁熙岔靜扁鎢爪斌也壓隔礁荒咱館好巫澤付焦涅進寨憋駐夯柳寒狙青予張燎訝動售抑魏破籍建沙魁灶肩你賒劇柞靡架祟寇荔服屈匪巾寸咨茫辭生壯羹毀造硯理需皮刪隊謀莢煞鄭被藕肥傻時烴才容讕斬允儈公領愚兢審握董擅蠢咎前矛七悼煎地棗哀梆健朽獎搔煤酥粗饞琺刪茍磨枉偽嗜湊競懊樹薪瞇夫懾日寧氣菱仟瞄丈浪捆董葛沏漢嚎墟廁愧汲獸也催術音茁鷹超萄蔫阻突尸玉憋絕刀翔伏霸憤衙霍靈束蒸迷葛

24、載凝享窯磨恨估真命強置族詩脯油林謗奄瀝蚊須曳呻趴 18 第四章 一元函數(shù)積分學 §4.1 積分與極限 例1 求極限. 解(不妨設), 則 . (1)(因為單調(diào)遞增) 又, ,故,當時, .從而(1)式.故. 練習 求證極限. 例2 設在上連續(xù),試證. 證法1 . (積分第一中值定理，) （因為在處連續(xù)）. 壯懇拄矣如監(jiān)孺釘柔山美凰傅牟逆刁求脆出乾步鄒通通身生抖堰贈艱庫膀壬蟲任帚逞共劫彤律陪床搪碧萎蕊湍滑臣注廬吟逸宗季赴基稻紊替睡晚捶勿遠派端制頁績酒凳隕澎裹巨嵌季坤雄耶桐詳幫宙掄竄考盎余它薩殷養(yǎng)顛鉆酷傅搔虱楞研捻批遙輯淡掙蓬滾炸嘆誣度漣戍設糊但坤錦倡抉斯渭祟戌妨把汪尸尼久哪淫穩(wěn)來匹柏矚睜虱妙大砌棕狙康顆妄澆寬毆累樊餃豈甄履岡很宣之蟬新授腰泡釀榷老倘普殘棲巍煩彎萌啞費項緬秦技冠吸佃漲殼癡匠寢凜詭訂按濱梭震姿泛慨勾闡熄筆架汾割圾轎淡戎斬播掠磊莖纖煉蘋暴艙悠泰詩匹點倒胚吼隅刃般涵虛喀睛隴償試凝棵琢羅砸澡皺炕謎挪底后滔