精編【課堂坐標】高中數(shù)學北師大版必修五學業(yè)分層測評：第一章 數(shù)列 6 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學資料 學業(yè)分層測評(六) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．若等比數(shù)列的首項為，末項為，公比為，則這個數(shù)列的項數(shù)為(　　) A．3　 B．4 C．5 D．6 【解析】　因為n－1＝，所以n－1＝＝3， 所以n＝4. 【答案】　B 2．已知a，b，c，d是公比為2的等比數(shù)列，則＝(　　) A．1 B． C. D． 【解析】　由題意知b＝2a，c＝4a，d＝8a， 所以＝＝. 【答案】　C 3．(2016淮安高二檢測)設等比數(shù)列的前三項依次為，，，則它的第四項是(　　) A．1 B． C. D． 【解析】　∵a1＝，a2＝，則q＝， ∴a4＝a1q3＝＝1. 【答案】　A 4．(2016吉安高二檢測)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7＝(　　) A．64 B．81 C．128 D．243 【解析】　∵{an}是等比數(shù)列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6， ∴設等比數(shù)列的公比為q， 則a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2， ∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1， ∴a7＝a1q6＝26＝64. 【答案】　A 5．若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比為(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】　 令n＝1，得a1a2＝16①，令n＝2，得a2a3＝162②， 得＝16，所以q2＝16，所以q＝4，又由①知q＞0， ∴q＝4. 【答案】　B 二、填空題 6．三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差數(shù)列，則這三個數(shù)依次為________． 【解析】　由題意知b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差數(shù)列 所以2(b＋8)＝a＋c，即2(3a＋8)＝a＋9a， 解得a＝4，∴b＝12，c＝36. 【答案】　4,12,36 7．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，則a3＝________. 【解】　由已知得由得＝， ∴q＝或q＝2.當q＝時，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 當q＝2時，a1＝1，a3＝a1q2＝4. 【答案】　4或－4 8．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則＝________. 【導學號：67940014】 【解析】　設{an}公比為q，∵a2，a3，a1成等差數(shù)列， ∴a3＝a1＋a2， ∴a1q2＝a1＋a1q， ∵a1≠0， ∴q2－q－1＝0， 解得q＝. ∵數(shù)列各項都是正數(shù)，∴q＞0，∴q＝， ∴＝q＝. 【答案】　 三、解答題 9．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，a7＝27，求an. 【解】　由a7＝a1q6，得27＝q6， ∴q6＝272＝36，∴q＝3. 當q＝3時，an＝a1qn－1＝3n－1＝3n－4； 當q＝－3時，an＝a1qn－1＝(－3)n－1 ＝－(－3)－3(－3)n－1＝－(－3)n－4. 故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4. 10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝(an＋1)(n∈N＋)． (1)求a1，a2； (2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 【解】　(1)由S1＝(a1＋1)，得a1＝(a1＋1) ∴a1＝. 又S2＝(a2＋1)，即a1＋a2＝(a2＋1)， 解得a2＝－. (2)證明：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)－(an－1＋1)， 解得an＝－an－1， 即＝－，當n＝1時a1＝，a2＝－，∴＝－，故{an}是以為首項，公比為－的等比數(shù)列． [能力提升] 1．(2014天津高考)設{an}是首項為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 【解析】　因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分別為a1,2a1－1,4a1－6.因為S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以S＝S1S4，即(2a1－1)2＝a1，解得a1＝－. 【答案】　D 2．已知數(shù)列{xn}滿足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，則lg(x101＋x102＋…＋x200)＝(　　) A．200 B．100 C．－200 D．－100 【解析】　由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)得lgxn＋1－lgxn＝1， 所以＝10，所以數(shù)列{xn}是公比為10的等比數(shù)列， 所以xn＋100＝xn10100，所以x101＋x102＋…＋x200 ＝10100(x1＋x2＋…＋x100)＝10100，所以lg(x101＋x102＋…＋x200) ＝lg10100＝100. 【答案】　B 3．(2016蘇州高二檢測)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項公式為________． 【解析】　由題設an＋1＝4an－3n＋1， 得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)(n∈N＋)． 又a1－1＝1， 所以數(shù)列{an－n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列，所以an－n＝4n－1， 于是數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－1＋n. 【答案】　an＝4n－1＋n 4．(2016南昌高二檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{bn}的通項公式． 【解】　(1)證明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴＝，∴{an－1}是等比數(shù)列． ∵首項c1＝a1－1，又a1＋a1＝1， ∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝. 又cn＝an－1， ∴{cn}是以－為首項，公比為的等比數(shù)列． (2)由(1)可知cn＝n－1＝－n， ∴an＝cn＋1＝1－n， ∴當n≥2時，bn＝an－an－1 ＝1－n－ ＝n－1－n＝n. 又b1＝a1＝代入上式也符合， ∴bn＝n.