高考數學浙江理科一輪【第二章】函數與基本初等函數I【下】 第二章 2.6

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1、 精品資料 2.6　對數與對數函數 1．對數的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數的底數，__N__叫做真數． 2．對數的性質與運算法則 (1)對數的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM. (2)對數的性質 ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠

2、1)． (3)對數的重要公式 ①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logablogbclogcd＝logad. 3．對數函數的圖象與性質 a>1 01時，y>0 當01時，y<0 當00 (6)在(0，＋∞)上是增函數 (7)在(0，＋∞)上是減函數 4．反函數 指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數，它們的圖象關于直線__

3、y＝x__對稱． 1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，則x＋y＝5. (　√　) (2)2log510＋log50.25＝5. (　　) (3)已知函數f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(b2)＝2. (　√　) (4)log2x2＝2log2x. (　　) (5)當x>1時，logax>0. (　　) (6)當x>1時，若logax>logbx，則a

4、) 2．(2013課標全國Ⅱ)設a＝log36，b＝log510，c＝log714，則 (　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案　D 解析　a＝log36＝1＋log32＝1＋， b＝log510＝1＋log52＝1＋， c＝log714＝1＋log72＝1＋，顯然a>b>c. 3．(2013浙江)已知x，y為正實數，則 (　　) A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x2lg y C．2lg xlg y＝2lg x＋2lg y D

5、．2lg(xy)＝2lg x2lg y 答案　D 解析　2lg x2lg y＝2lg x＋lg y ＝2lg(xy)．故選D. 4．函數f(x)＝log5(2x＋1)的單調增區(qū)間是________． 答案　(－，＋∞) 解析　函數f(x)的定義域為(－，＋∞)， 令t＝2x＋1(t>0)． 因為y＝log5t在t∈(0，＋∞)上為增函數， t＝2x＋1在(－，＋∞)上為增函數， 所以函數y＝log5(2x＋1)的單調增區(qū)間是(－，＋∞)． 5．已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在[0，＋∞)上為增函數，f＝0，則不等式f(logx)>0的解集為_____________

6、___． 答案　∪(2，＋∞) 解析　∵f(x)是R上的偶函數， ∴它的圖象關于y軸對稱． ∵f(x)在[0，＋∞)上為增函數， ∴f(x)在(－∞，0]上為減函數， 由f＝0，得f＝0. ∴f(logx)>0?logx<－或logx> ?x>2或0

7、啟迪　(1)利用對數的定義將x＝log43化成4x＝3； (2)利用分段函數的意義先求f(1)，再求f(f(1))； f(log3)可利用對數恒等式進行計算． 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)由x＝log43，得4x＝3，即2x＝， 2－x＝，所以(2x－2－x)2＝()2＝. (2)因為f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 因為log3<0，所以f(log3)＝3＋1 ＝3＋1＝2＋1＝3. 所以f(f(1))＋f(log3)＝2＋3＝5. 思維升華　在對數運算中，要熟練掌握對數式的定義，靈活使用對數的運算性質、換底公式和對數恒等式對式子進行

8、恒等變形，多個對數式要盡量化成同底的形式． 　已知函數f(x)＝則f(2＋log23)的值為________． 答案　 解析　因為2＋log23<4， 所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)， 而3＋log23>4， 所以f(3＋log23)＝()＝() ＝＝. 題型二　對數函數的圖象和性質 例2　(1)函數y＝2log4(1－x)的圖象大致是 (　　) (2)已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數，且在(－∞，0]上是增函數，設a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.2－0.6)，則a，b，c的大小關系是 (　

9、　) A．c＝2>log49，

10、 又f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數， 且在(－∞，0]上是增函數， 故f(x)在[0，＋∞)上是單調遞減的， ∴f(0.2－0.6)

11、a(x＋b) (a>0且a≠1)的圖象過兩點(－1，0)和(0,1)，則a＝________，b＝________. 答案　(1)A　(2)2　2 解析　(1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a， c＝2log52＝log522

12、樣的實數a，使得函數f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由． 思維啟迪　f(x)恒有意義轉化為“恒成立”問題，分離參數a來解決；探究a是否存在，可從單調性入手． 解　(1)∵a>0且a≠1，設t(x)＝3－ax， 則t(x)＝3－ax為減函數， x∈[0,2]時，t(x)最小值為3－2a， 當x∈[0,2]時，f(x)恒有意義， 即x∈[0,2]時，3－ax>0恒成立． ∴3－2a>0.∴a<. 又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪. (2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函數t(x)為減函數， ∵f(x)在區(qū)間[

13、1,2]上為減函數， ∴y＝logat為增函數， ∴a>1，x∈[1,2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)， ∴，即， 故不存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數，并且最大值為1. 思維升華　解決對數函數綜合問題時，無論是討論函數的性質，還是利用函數的性質 (1)要分清函數的底數是a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)； (2)確定函數的定義域，無論研究函數的什么性質或利用函數的某個性質，都要在其定義域上進行； (3)如果需將函數解析式變形，一定要保證其等價性，否則結論錯誤． 　已知f(x)＝log4(4x－1)．

14、 (1)求f(x)的定義域； (2)討論f(x)的單調性； (3)求f(x)在區(qū)間[，2]上的值域． 解　(1)由4x－1>0，解得x>0， 因此f(x)的定義域為(0，＋∞)． (2)設0

15、＝log0.30.2，則a，b，c的大小關系是 (　　) A．a>b>c B．ab>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b 思維啟迪　(1)利用冪函數y＝x0.5和對數函數y＝log0.3x的單調性，結合中間值比較a，b，c的大小； (2)化成同底的指數式，只需比較log23.4、log43.6、－log30.3＝log3的大小即可，可以利用中間值或數形結合進行比較． 解析　(1)根據冪函數y＝x0.5的單調性，可得0.

16、30.5<0.50.5<10.5＝1，即blog0.30.3＝1，即c>1. 所以blog3>log43.6. 方法二　∵log3>log33＝1，且<3.4， ∴l(xiāng)og31， ∴l(xiāng)og43.6log3>log43.6.

17、 由于y＝5x為增函數，∴5>5>5. 即5>() >5，故a>c>b. 答案　(1)C　(2)C 溫馨提醒　(1)比較冪、對數的大小可以利用數形結合和引入中間量利用函數單調性兩種方法． (2)解題時要根據實際情況來構造相應的函數，利用函數單調性進行比較，如果指數相同，而底數不同則構造冪函數，若底數相同而指數不同則構造指數函數，若引入中間量，多選0或1. 方法與技巧 1．對數函數的定義域及單調性 在對數式中，真數必須是大于0的，所以對數函數y＝logax的定義域應為{x|x>0}．對數函數的單調性和a的值有關，因而，在研究對數函數的單調性時，要按01進行分類討

18、論． 2．比較冪、對數大小有兩種常用方法：(1)數形結合；(2)找中間量結合函數單調性． 3．多個對數函數圖象比較底數大小的問題，可通過圖象與直線y＝1交點的橫坐標進行判定． 失誤與防范 1．在運算性質logaMα＝αlogaM中，要特別注意條件，在無M＞0的條件下應為logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α為偶數)． 2．指數函數y＝ax (a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，應從概念、圖象和性質三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別． 3．解決與對數函數有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數的定義域；(2)注意對數底數的取值范圍．

19、 A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1．函數y＝的定義域是 (　　) A．{x|00，a≠1)在R上既是奇函數又是減函數，則g(x)＝loga(x＋k)的圖象是 (　　) 答案　A 解析　∵函數f(x)為奇

20、函數，∴f(x)＋f(－x)＝0， 即(k－1)ax－a－x＋(k－1)a－x－ax＝0， ∴(k－2)(ax＋a－x)＝0關于x恒成立， ∴k＝2，∴f(x)＝ax－， 又函數在R上是減函數，∴0ln e，∴x>1. ∵y＝log52

21、>＝，∴f(－a)，則實數a的取值范圍是 (　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案　C 解析　f(a)>f(－a)?或 ?或 ?a>1或－10，且a≠1，∴u＝ax－3為增函

22、數， ∴若函數f(x)為增函數，則f(x)＝logau必為增函數， 因此a>1.又y＝ax－3在[1,3]上恒為正， ∴a－3>0，即a>3，故選D. 二、填空題 6．計算(lg －lg 25)100＝________. 答案?。?0 解析　(lg －lg 25)100＝(lg )10－1 ＝－210＝－20. 7．已知函數f(x)＝則使函數f(x)的圖象位于直線y＝1上方的x的取值范圍是________________． 答案　{x|－12} 解析　當x≤0時，3x＋1>1?x＋1>0，∴－10時，log2x>1?x>2，∴x>2.

23、綜上所述，x的取值范圍為－12. 8．若log2a<0，則a的取值范圍是____________． 答案　 解析　當2a>1時，∵log2a<0＝log2a1， ∴<1.∵1＋a>0，∴1＋a2<1＋a， ∴a2－a<0，∴01.∵1＋a>0，∴1＋a2>1＋a， ∴a2－a>0，∴a<0或a>1，此時不合題意． 綜上所述，a∈. 三、解答題 9．已知函數f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性

24、并予以證明； (3)當a>1時，求使f(x)>0的x的解集． 解　(1)要使函數f(x)有意義． 則解得－11時，f(x)在定義域{x|－10?>1，解得00的x的解集是{x|0

25、loga(ax)loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值． 解　由題意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2) ＝(logx＋3logax＋2)＝(logax＋)2－. 當f(x)取最小值－時，logax＝－. 又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是關于logax的二次函數， ∴函數f(x)的最大值必在x＝2或x＝8時取得． 若(loga2＋)2－＝1，則a＝2， 此時f(x)取得最小值時，x＝(2－)＝?[2,8]，舍去． 若(loga8＋)2－＝1，則a＝， 此時f(x)取得最小值時，x＝()＝2∈[2,8]，符合題

26、意， ∴a＝. B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1．設f(x)＝lg是奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是 (　　) A．(－1,0) B．(0,1) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　由f(x)是奇函數可得a＝－1， ∴f(x)＝lg，定義域為(－1,1)． 由f(x)<0，可得0<<1，∴－1

27、 解析　根據同一坐標系中三個不同底的對數函數圖象位置對比，可得 ①若a，b，c均大于1或均小于1，則有a>b>c； ②若有一個大于1，則c>1，且0c>1，且00，且a≠1)，若f(x1x2…x2 015)＝8，則f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝________. 答案　16 解析　f(x1x2…x2 015)＝loga(x1x2…x2 015)＝8， f(x)＋f(x)＋…＋f(x) ＝logax＋logax＋…＋logax ＝loga(x1x2…x2 015)2＝2loga(x1x

28、2…x2 015)＝16. 4．設f(x)＝|lg x|，a，b為實數，且01. (3)在(2)的條件下，求證：由關系式f(b)＝2f()所得到的關于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0. (1)解　由f(x)＝1得，lg x＝1， 所以x＝10或. (2)證明　結合函數圖象，由f(a)＝f(b)可判斷a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)， 從而－lg a＝lg b，從而ab＝1. 又＝>＝1(因≠b)． (3)證明　由已知可得b＝()2， 得4b＝

29、a2＋b2＋2ab，得＋b2＋2－4b＝0， g(b)＝＋b2＋2－4b， 因為g(3)<0，g(4)>0，根據零點存在性定理可知，函數g(b)在(3,4)內一定存在零點，即存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0. 5．已知函數y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，)上是增函數，求a的取值范圍． 解　函數y＝log (x2－ax＋a)是由函數y＝logt和t＝x2－ax＋a復合而成． 因為函數y＝logt在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減， 而函數t＝x2－ax＋a在區(qū)間(－∞，)上單調遞減， 故函數y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，]上單調遞增． 又因為函數y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，)上是增函數， 所以 解得即2≤a≤2(＋1)．