高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第八章 ：第七節(jié)拋物線回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、 第七節(jié)　拋 物 線 【考綱下載】 1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率等)． 2．了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用．了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用． 3．理解數(shù)形結(jié)合思想． 1．拋物線的定義 滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線： (1)在平面內(nèi)； (2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等； (3)定點不在定直線上． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝2px (p＞0)[來源:][來源:] y2＝－2px (p＞0)[來源:] x2＝2p

2、y (p>0)[來源:][來源:] x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點 O(0,0) 對稱軸 y＝0 x＝0 焦點 F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 開口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半徑 (其中 P(x0，y0)) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 1．當(dāng)定點F在定直

3、線l上時，動點的軌跡是什么圖形？ 提示：當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過定點F且與直線l垂直的直線． 2．拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點M(x0，y0)到焦點F的距離與點M的橫坐標(biāo)x0有何關(guān)系？若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，結(jié)果如何？ 提示：由拋物線定義得|MF|＝x0＋；若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，則|MF|＝y(tǒng)0＋. 1．設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x 解析：選C　由拋物線準(zhǔn)線方

4、程為x＝－2知p＝4，且開口向右，故拋物線方程為y2＝8x. 2．拋物線y2＝4x的焦點F到準(zhǔn)線l的距離為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　因為拋物線y2＝4x，所以2p＝4，而焦點F到準(zhǔn)線l的距離為p＝2. 3．拋物線y＝2x2的焦點坐標(biāo)為(　　) A. B．(1,0) C. D. 解析：選C　將拋物線y＝2x2化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，所以2p＝，＝，而拋物線x2＝y(tǒng)的焦點在y軸的非負(fù)半軸上，所以焦點坐標(biāo)為. 4．拋物線的焦點為橢圓＋＝1的左焦點，頂點為橢圓中心，則拋物線方程為__________

5、______． 解析：由c2＝9－4＝5，得F(－，0)， 則拋物線方程為y2＝－4x. 答案：y2＝－4x 5．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0,2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________． 解析：F，則B， ∴2p＝1，解得p＝. ∴B， 因此B到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為＋＝. 答案： 前沿?zé)狳c(十二) 與拋物線有關(guān)的交匯問題 1．拋物線是一種重要的圓錐曲線，在高考中，經(jīng)常以拋物線為載體與直線、圓綜合考查，主要考查拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，點到直線的距離等． 2．直線與拋物線的綜合

6、問題，經(jīng)常是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x(或y)，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，但一定要注意直線與拋物線相交的條件． [典例]　(2013浙江高考) 已知拋物線C的頂點為O(0，0)，焦點為F(0,1)． (1)求拋物線C的方程； (2)過點F作直線交拋物線C于A，B兩點．若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點，求|MN|的最小值． [解題指導(dǎo)]　(1)由拋物線的頂點、焦點即可判斷拋物線的形狀、大小，從而可求拋物線方程． (2)直線AB與拋物線相交，可得出A，B兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由AO、BO與直線l交于M，N兩點，可求出|MN|的表達(dá)式，用k來表示，

7、利用函數(shù)即可求最值． [解]　(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則＝1，p＝2， 所以拋物線C的方程為x2＝4y. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1. 由消去y，整理得x2－4kx－4＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 從而|x1－x2|＝4. 由 解得點M的橫坐標(biāo)xM＝＝＝. 同理點N的橫坐標(biāo)xN＝. 所以|MN|＝|xM－xN| ＝ ＝8 ＝. 令4k－3＝t，t≠0，則k＝. 當(dāng)t>0時， |MN|＝2 >2； 當(dāng)t<0時， |MN|＝2 ≥ . 綜上所述，當(dāng)t＝－，即k＝－時

8、，|MN|的最小值是 . [名師點評]　解答本題的關(guān)鍵有以下幾點： (1)由頂點O(0,0)，焦點F(0,1)確定拋物線的開口方向及P的值； (2)|MN|的表達(dá)式中，注意x1＋x2，x1x2及|x1－x2|的值； (3)注意4k－3＝t的換元，使問題簡單． (2014湖州模擬)已知拋物線C：y2＝2px的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積． 解：(1)由題意知交點坐標(biāo)為(8，－8)，∴82＝2p8，∴2p＝8，所以拋物線方程為y2＝8x. (2)∵l1：y＝－x，又直線l2與l1垂直， 所以可設(shè)l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸交點為M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2. 由韋達(dá)定理，y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)， ∴l(xiāng)2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)， 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝|FM||y1－y2| ＝3＝24.