高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第二節(jié)排列與組合回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)

精品資料 第二節(jié)　排列與組合 【考綱下載】 1．理解排列組合的概念． 2．能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式． 3．能利用排列組合知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 1．排列與組合的概念 名稱(chēng) 定義 排列 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素[來(lái)源:] 按照一定的順序排成一列[來(lái)源:] 組合[來(lái)源:] 合成一組 2．排列數(shù)與組合數(shù)的概念 名稱(chēng) 定義 排列數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同 排列的個(gè)數(shù) 組合數(shù) 組合的個(gè)數(shù) 3.排列數(shù)與組合數(shù)公式 (1)排列數(shù)公式 ①A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝； ②A＝n！. (2)組合數(shù)公式 C＝＝＝. 4．組合數(shù)的性質(zhì) (1)C＝C_； (2)C＋C＝C. 1．排列與排列數(shù)有什么區(qū)別？ 提示：排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)． 2．如何區(qū)分一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？ 提示：看選出的元素與順序是否有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問(wèn)題，若與順序無(wú)關(guān)，則是組合問(wèn)題． 1．將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案的種數(shù)是(　　) A．12 B．10 C．9 D．8 解析：選A　先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，共有CC＝12種安排方案． 2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為　　(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 解析：選C　先排個(gè)位共有C種方法，再排其余3位．則有A種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為CA＝48. 3．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法的種數(shù)是(　　) A．12 B．18 C．24 D．36 解析：選A　先排第一列，共有A種方法，再排第二列第一行共有C種方法，第二列第二行，第三列第二行各有1種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有AC11＝12種排列方法． 4．將9個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球，且每個(gè)盒子中的小球個(gè)數(shù)都不同，則共有________種不同放法． 解析：對(duì)這3個(gè)盒子中所放的小球的個(gè)數(shù)情況進(jìn)行分類(lèi)計(jì)數(shù)：第1類(lèi)，這3個(gè)盒子中所放的小球的個(gè)數(shù)分別是1,2,6，此類(lèi)有A＝6種放法；第2類(lèi)，這3個(gè)盒子中所放的小球的個(gè)數(shù)分別是1,3,5，此類(lèi)有A＝6種放法；第3類(lèi)，這3個(gè)盒子中所放的小球的個(gè)數(shù)分別是2,3,4，此類(lèi)有A＝6種放法．因此共有6＋6＋6＝18種滿足題意的放法． 答案：18 5. 如圖M，N，P，Q為海上四個(gè)小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來(lái)，則共有________種不同的建橋方法. 解析：M，N，P，Q兩兩之間共有6條線段(橋抽象為線段)，任取3條有C＝20種方法，其中不合題意的有4種方法．則共有20－4＝16種不同的建橋方法． 答案：16 易誤警示(十二) 排列與組合中的易錯(cuò)問(wèn)題 [典例]　將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法． [解題指導(dǎo)]　將6名教師分到3所中學(xué)，相當(dāng)于將6名教師分成3組，相當(dāng)于3個(gè)不同元素． [解析]　將6名教師分組，分三步完成： 第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法； 第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法； 第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CCC＝60種取法． 再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A＝6種分法， 故共有606＝360種不同的分法． [答案]　360 [名師點(diǎn)評(píng)]　1.如果審題不仔細(xì)，極易認(rèn)為有CCC＝60種分法．因?yàn)楸绢}中并沒(méi)有明確指出哪一所學(xué)校1名、2名、3名． 2．解決排列與組合應(yīng)用題應(yīng)重點(diǎn)注意以下幾點(diǎn)： (1)首先要分清楚是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，不能將兩者混淆． (2)在解決問(wèn)題時(shí)，一定要注意方法的明確性，不能造成重復(fù)計(jì)數(shù)． (3)分類(lèi)討論時(shí)，要注意分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的確定，應(yīng)做到不重不漏． 在小語(yǔ)種提前招生考試中，某學(xué)校獲得5個(gè)推薦名額，其中俄語(yǔ)2名，日語(yǔ)2名，西班牙語(yǔ)1名，并且日語(yǔ)和俄語(yǔ)都要求必須有男生參加．學(xué)校通過(guò)選拔定下3男2女共5個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方法的種數(shù)為(　　) A．20 B．22 C．24 D．36 解析：選C　3個(gè)男生每個(gè)語(yǔ)種各推薦1個(gè)，共有AA種推薦方法；將3個(gè)男生分為兩組，其中一組2個(gè)人，則共有CAA種推薦方法．所以共有AA＋CAA＝24種不同的推薦方法．