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1、
高考理科數(shù)學(xué)試題（課標(biāo)Ⅰ）
第Ⅰ卷
一、 選擇題共12小題。每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)
1.已知集合，則 ( )
A.A∩B=Æ B.A∪B=R C.B?A D.A?B
2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為 ( )
A. B. C.4 D.
3. 為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué).初中.高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是 ( )
A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽
2、樣 B.按性別分層抽樣 C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣
4.已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為
A. B. C. D.
5.運(yùn)行如下程序框圖，如果輸入的，則輸出s屬于
A. B. C. D.
6.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 ( )
A. B. C. D.
7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.
3、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為
A． B． C． D．
9.設(shè)為正整數(shù)，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，
展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若，則( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)。若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為 ( )
A. B. C. D.
11.已知函數(shù)，若||≥，則的取值范圍是
A． B． C． D．
12.設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，，若，，則( )
A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列
C
4、.{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列
二．填空題：本大題共四小題，每小題5分
13.已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，則t=_____.
14.若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn＝，則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=______.
15.設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則______
16.若函數(shù)=的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的最大值是______.
三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟
17.（本小題滿分12分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，
5、BC=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°
(Ⅰ)若PB=，求PA；
(Ⅱ)若∠APB＝150°，求tan∠PBA。
18.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.
（Ⅰ）證明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。
19.（本小題滿分12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則
6、這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)。
假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)
立，
（Ⅰ）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；
（Ⅱ）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需
的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。
20.(本小題滿分12分)已知圓:,圓:,動(dòng)圓與外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線 C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的
7、半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.
21.（本小題滿分共12分）已知函數(shù)＝，＝，若曲線和曲線都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線
（Ⅰ）求，，，的值；
（Ⅱ）若≥－2時(shí)，≤，求的取值范圍。
22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講 如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D。
（Ⅰ）證明：DB=DC；
（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為1，BC=3 ，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑。
23.（本小題10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的
8、正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為。
（Ⅰ）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)=,=.
（Ⅰ）當(dāng)=2時(shí)，求不等式＜的解集；
（Ⅱ）設(shè)＞-1,且當(dāng)∈[，)時(shí)，≤,求的取值范圍.
參考答案
一、選擇題
1．B. 2．D. 3．C. 4．C 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．D 11．D 12．B
二、填空題
13．=. 14．=. 15．. 16．16.
9、三解答題
17．（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；
（Ⅱ）設(shè)∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化簡(jiǎn)得，，∴=，∴=.
18．（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，，，
∵AB=，=，∴是正三角形，
∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵=E，∴AB⊥面，
∴AB⊥； ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，
又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，
∴EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，||為單位長(zhǎng)
10、度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有題設(shè)知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),則=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分
設(shè)=是平面的法向量，
則，即，可取=（，1，-1），
∴=，
∴直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為. ……12分
19．設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD),且AB與CD互斥，
∴
11、P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分
（Ⅱ）X的可能取值為400,500,800，并且
P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，
∴X的分布列為
X
400
500
800
P
……10分
EX=400×+500×+800×=506.25 ……12分
20．由已知得圓的圓心為（-1，0）,半徑=1，圓的圓心為(
12、1,0),半徑=3.
設(shè)動(dòng)圓的圓心為（，），半徑為R.
（Ⅰ）∵圓與圓外切且與圓內(nèi)切，∴|PM|+|PN|===4，
由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，場(chǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為.
（Ⅱ）對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,
當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為（2，0）時(shí)，R=2.
∴當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為，
當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，則與軸重合，可得|AB|=.
當(dāng)?shù)膬A斜角不為時(shí)，由≠R知不平行軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為Q，則=，可求得Q（-4，0），∴設(shè)：，由于圓M相切得，解得.
當(dāng)=時(shí)，將代入并整理得，解得=，∴|AB|==
13、.
當(dāng)=－時(shí)，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知|AB|=，
綜上，|AB|=或|AB|=.
21．（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
設(shè)函數(shù)==（），
==，
有題設(shè)可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，則－2＜≤0，∴當(dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而==≥0，
∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立，
(2)若，則=，
∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，∴在(－2,+∞)單調(diào)遞增，而=0，
∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立，
(3)若，則==＜0，
∴當(dāng)≥－2時(shí)，≤不可能恒成立，
綜上所述，的取值
14、范圍為[1,].
22．（Ⅰ）連結(jié)DE，交BC與點(diǎn)G.
由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，
又∵DB⊥BE，∴DE是直徑，∠DCE=，由勾股定理可得DB=DC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂線，∴BG=.
設(shè)DE中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，則∠BOG=，∠ABE=∠BCE=∠CBE=，
∴CF⊥BF， ∴Rt△BCF的外接圓半徑等于.
23. 將消去參數(shù)，化為普通方程，
即：，將代入得，
，
∴的極坐標(biāo)方程為；
（Ⅱ）的普通方程為，
由解得或，∴與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（），.
24．當(dāng)=-2時(shí)，不等式＜化為，[來(lái)源:www.12999.Com]
設(shè)函數(shù)=，=，
其圖像如圖所示
從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，＜0，∴原不等式解集是.
（Ⅱ）當(dāng)∈[，)時(shí)，=，不等式≤化為，
∴對(duì)∈[，)都成立，故，即≤，
∴的取值范圍為（-1，].
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