全國通用高考數(shù)學(xué) 二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題16 不等式與線性規(guī)劃含解析

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1、 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題16 不等式與線性規(guī)劃(含解析) 一、選擇題 1.(文)(20xx·唐山市一模)已知全集U={x|x2>1},集合A={x|x2-4x+3<0},則?UA=(  ) A.(1,3)        B.(-∞,1)∪[3,+∞) C.(-∞,-1)∪[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) [答案] C [解析] ∵U={x|x2>1}={x|x>1或x<-1},A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},∴?UA={

2、x|x<-1或x≥3}. (理)(20xx·唐山市一模)己知集合A={x|x2-3x+2<0},B={x|log4x>},則(  ) A.A∩B=?       B.B?A C.A∩(?RB)=R D.A?B [答案] A [解析] A={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},B={x|log4x>}={x|x>2},∴A∩B=?. [方法點(diǎn)撥] 解不等式或由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍是高考常見題型. 1.解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解. 2.

3、解決含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對參數(shù)的恰當(dāng)分類,關(guān)鍵是找到對參數(shù)進(jìn)行討論的原因.確定好分類標(biāo)準(zhǔn),有理有據(jù)、層次清楚地求解. 3.解不等式與集合結(jié)合命題時,先解不等式確定集合,再按集合的關(guān)系與運(yùn)算求解. 4.分段函數(shù)與解不等式結(jié)合命題,應(yīng)注意分段求解. 2.(文)(20xx·天津理,7)設(shè)a、b∈R,則“a>b”是“a|a|>b|b|”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [答案] C [解析] (1)若a>b,則①a>b≥0,此時a|a|>b|b|;②a>0>b,顯然有a|a

4、|>b|b|;③0≥a>b,此時0<|a|<|b|,∴a|a|>a|b|>b|b|,綜上a>b時,有a|a|>b|b|成立. (2)若a|a|>b|b|,①b=0時,有a>0,∴a>b;②b>0時,顯然有a>0,∴a2>b2,∴a>b;③b<0時,若a≥0時,a>b;若a<0,則-a2>-b2,∴a2<b2,∴(a+b)(a-b)<0,∴a>b,綜上當(dāng)a|a|>b|b|時有a>b成立,故選C. (理)(20xx·四川文,5)若a>b

5、>0,c<d<0,則一定有(  ) A.> B.< C.> D.< [答案] B [解析] ∵c<d<0,∴<<0,∴->->0, 又∵a>b>0,∴->->0,即<.選B. [方法點(diǎn)撥] 不等式的性質(zhì)經(jīng)常與集合、充要條件、命題的真假判斷、函數(shù)等知識結(jié)合在一起考查,解題時,關(guān)鍵是熟記不等式的各項(xiàng)性質(zhì),特別是各不等式成立的條件,然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解. 3.(文)若直線2ax+by-2=0(a、b∈R)平分圓x2+y2-2x-4y-6=0,則+的最小值是(  ) A.

6、1 B.5 C.4 D.3+2 [答案] D [解析] 直線平分圓,則必過圓心. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=11. ∴圓心C(1,2)在直線上?2a+2b-2=0?a+b=1. ∴+=(+)(a+b)=2+++1=3++≥3+2,故選D. (理)(20xx·湖南文,7)若實(shí)數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為(  ) A. B.2 C.2 D.4 [答案] C [解析] 考查基本不等式. 根據(jù)+=,可得a>0,b>0,然后利用基本不等式+≥2求解ab的最小值即可;∵+=,∴a>0,b>0,∵=+≥2=2,∴ab≥2,(當(dāng)且僅當(dāng)

7、b=2a時取等號),所以ab的最小值為2,故選C. [方法點(diǎn)撥] 1.用基本不等式≥求最值時,要注意“一正、二定、三相等”,一定要明確什么時候等號成立,要注意“代入消元”、“拆、拼、湊”、“1的代換”等技巧的應(yīng)用. 2.不等式恒成立問題一般用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解或用賦值法討論求解. 4.(文)(20xx·天津文,2)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為(  ) A.7 B.8 C.9 D.14 [答案] C [解析] z=3x+y=(x-2)+(x+2y-8)+9≤9,當(dāng)x=2,y=3時取得最大值9,故選C.此題也可畫出可行域如圖,借助圖

8、象求解. (理)設(shè)變量x、y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=y(tǒng)-2x的最小值為(  ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 [答案] A [解析] 由x,y滿足的約束條件畫出可行域如圖,容易求出A(2,0),B(5,3),C(1,3), 由圖可知當(dāng)直線z=y(tǒng)-2x過點(diǎn)B(5,3)時,z最小值為3-2×5=-7. 5.(20xx·四川文,4)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),則“a>b>1”是“l(fā)og2a>log2b>0”的(  ) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 [答案] A [解析] 考查命題及其關(guān)系. a

9、>b>1時,有l(wèi)og2a>log2b>0成立,反之也正確.選A. 6.(文)(20xx·福建文,5)若直線+=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,1),則a+b的最小值等于(  ) A.2    B.3    C.4    D.5 [答案] C [解析] 考查基本不等式. 由已知得,+=1,a>0,b>0,則a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,當(dāng)=,即a=b=2時取等號. (理)已知a>0,b>0,且2a+b=4,則的最小值為(  ) A.    B.4    C.    D.2 [答案] C [解析] ∵a>0,b

10、>0,∴4=2a+b≥2, ∴ab≤2,∴≥,等號在a=1,b=2時成立. 7.設(shè)z=2x+y,其中變量x,y滿足條件.若z的最小值為3,則m的值為(  ) A.1    B.2    C.3    D.4 [答案] A [解析] 作出不等式組,表示的平面區(qū)域,由于z=2x+y的最小值為3,作直線l0:x=m平移l0可知m=1符合題意. [方法點(diǎn)撥] 1.線性規(guī)劃問題一般有三種題型:一是求最值;二是求區(qū)域面積;三是由最優(yōu)解確定目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍. 2.解決線性規(guī)劃問題首先要畫出可行域,再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時可行域的頂點(diǎn)(或邊界

11、上的點(diǎn)),但要注意作圖一定要準(zhǔn)確,整點(diǎn)問題可通過驗(yàn)證解決. 3.確定二元一次不等式組表示的平面區(qū)域:①畫線,②定側(cè),③確定公共部分;解線性規(guī)劃問題的步驟:①作圖,②平移目標(biāo)函數(shù)線,③解有關(guān)方程組求值,確定最優(yōu)解(或最值等). 8.(文)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=(  ) A. B. C. D. [答案] A [解析] ∵a>0,∴不等式x2-2ax-8a2<0化為 (x+2a)(x-4a)<0,∴-2a<x<4a, ∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,

12、∴a=. (理)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)+f(loga)≤2f(1),則a的取值范圍是(  ) A.[1,2] B.(0,] C.[,2] D.(0,2] [答案] C [解析] 因?yàn)閘oga=-log2a,所以f(log2a)+f(loga)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式變?yōu)?f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1),又因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上遞增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2,故選C.

13、9.(文)(20xx·新課標(biāo)Ⅰ文,11)設(shè)x、y滿足約束條件 且z=x+ay的最小值為7,則a=(  ) A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3 [答案] B [解析] 當(dāng)a=-5時,作出可行域,由得交點(diǎn)A(-3,-2),則目標(biāo)函數(shù)z=x-5y過A點(diǎn)時取最大值,zmax=7,不合題意,排除A、C;當(dāng)a=3時,同理可得目標(biāo)函數(shù)z=x+3y過B(1,2)時,zmin=7符合題意,故選B. (理)(20xx·北京理,6)若x、y滿足且z=y(tǒng)-x的最小值為-4,則k的值為(  ) A.2 B.-2 C. D.- [答案] D [解析] 本題考查了線

14、性規(guī)劃的應(yīng)用. 若k≥0,z=y(tǒng)-x沒有最小值,不合題意. 若k<0,則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示. 由圖可知,z=y(tǒng)-x在點(diǎn)(-,0)處取最小值-4, 故0-(-)=-4,解得k=-,即選項(xiàng)D正確. 10.(20xx·江西質(zhì)量監(jiān)測)在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于5,則a的值為(  ) A.-11 B.3 C.9 D.9或-11 [答案] C [解析] 由題意知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)橐粋€三角形區(qū)域,設(shè)為△ABC,其中A(1,0),B(0,1),C(1,1+a)且a>-1,因?yàn)镾△ABC=5,所以&#

15、215;(1+a)×1=5,解得a=9. 11.(20xx·南昌市一模)已知實(shí)數(shù)x,y滿足,若目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)m的值為(  ) A.4 B.3 C.2 D.- [答案] C [解析] 表示的可行域如圖中陰影部分所示. 將直線l0:2x+y=0向上平移至過點(diǎn)A,B時,z=2x+y分別取得最小值與最大值.由得A(m-1,m),由得B(4-m,m),所以zmin=2(m-1)+m=3m-2,zmax=2(4-m)+m=8-m,所以zmax-zmin=8-m-(3m-2)=10-4m=2,解得m=2. 12.(20xx

16、83;洛陽市期末)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).對?x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,則的最大值為(  ) A.+2 B.-2 C.2+2 D.2-2 [答案] B [解析] 由已知得:f′(x)=2ax+b,f(x)≥f′(x)恒成立即ax2+(b-2a)x+c-b≥0恒成立,∴∴b2≤-4a2+4ac,∴≤=,設(shè)=t,令g(t)=,令t-1=m,則g(t)===≤=-2,當(dāng)且僅當(dāng)2m=,即m=時等號成立,故選B. 二、填空題 13.(文)不等式組表示的是一個軸對稱四邊形圍成的區(qū)域,則k=________. [答案] ±1 [

17、解析] 本題可以通過畫圖解決,如圖直線l:x-ky+k=0過定點(diǎn)(0,1).當(dāng)k=±1時,所圍成的圖形是軸對稱圖形. (理)設(shè)變量x、y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x2+y2的最大值為________. [答案] 41 [解析] 約束條件畫出可行域如圖, 易知x=4,y=5時,z有最大值,z=42+52=41. 14.(文)(20xx·天津文,12)已知a>0,b>0,ab=8,則當(dāng)a的值為________時,log2a·log2(2b)取得最大值. [答案] 4 [解析] log2a·log2(2b)≤2 =[log2(2ab)]

18、2=(log216)2=4, 當(dāng)a=2b時取等號,結(jié)合a>0,b>0,ab=8,可得a=4,b=2. (理)(20xx·重慶文,14)設(shè)a,b>0,a+b=5,則+的最大值為________. [答案] 3 [解析] 考查基本不等式. 由2ab≤a2+b2兩邊同時加上a2+b2,得(a+b)2≤2(a2+b2)兩邊同時開方即得:a+b≤(a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”);從而有+≤==3(當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+3,即a=,b=時,“=”成立)故填:3. 15.(20xx·邯鄲市一模)已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)

19、且f(1)=2,當(dāng)x1、x2∈[-1,1],且x1+x2≠0時,有>0,若f(x)≥m2-2am-5對所有x∈[-1,1]、a∈[-1,1]恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. [答案] [-1,1] [解析] ∵f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù), ∴當(dāng)x1、x2∈[-1,1]且x1+x2≠0時, >0等價于>0, ∴f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增. ∵f(1)=2,∴f(x)min=f(-1)=-f(1)=-2. 要使f(x)≥m2-2am-5對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立, 即-2≥m2-2am-5對所有a∈[-1,1]恒

20、成立, ∴m2-2am-3≤0,設(shè)g(a)=m2-2am-3, 則即∴-1≤m≤1. ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1,1]. 三、解答題 16.(文)(20xx·湖北文,21)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),f(x)+g(x)=ex,其中e為自然對數(shù)的底數(shù). (1)求f(x),g(x)的解析式,并證明:當(dāng)x>0時,f(x)>0,g(x)>1; (2)設(shè)a≤0,b≥1,證明:當(dāng)x>0時,ag(x)+(1-a)<<bg(x)+(1-b). [分析] 考查1.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用;2.函數(shù)的基

21、本性質(zhì). (1)將等式f(x)+g(x)=ex中x用-x來替換,并結(jié)合已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),構(gòu)造方程組即可求出f(x),g(x)的表達(dá)式;當(dāng)x>0時,由指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知ex>1,0<e-x<1,進(jìn)而可得到f(x)>0.然后再由基本不等式即可得出g(x)>1. (2)要證明ag(x)+(1-a)<<bg(x)+(1-b),即證f(x)>axg(x)+(1-a)x和f(x)<bxg(x)+(1-b)x.于是構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x,利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用即可得出結(jié)論成

22、立. [解析] (1)由 f(x),g(x)的奇偶性及f(x)+g(x)=ex, ① 得:-f(x)+g(x)=e-x. ② 聯(lián)立①②解得f(x)=(ex-e-x),g(x)=(ex+e-x). 當(dāng)x>0時,ex>1,0<e-x <1,故 f(x)>0. ③ 又由基本不等式,有g(shù)(x)=(ex+e-x)>=1,即g(x)>1. ④ (2)由(1)得f′(x)=′==(ex+e-x)=g(x), ⑤ g′(x)=′==(ex-e-x)=f(x), ⑥ 當(dāng)x>0

23、時,>ag(x)+(1-a)等價于f(x)>axg(x)+(1-a)x, ⑦ <bg(x)+(1-b)等價于f(x)<bxg(x)+(1-b)x. ⑧ 設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x,由⑤⑥,有h′(x)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1-c)[g(x)-1] -cxf(x). 當(dāng)x>0時,1°若c≤0,由③④,得h′(x)>0,故h(x)在[0,+∞) 上為增函數(shù),從而h(x)>h(0)=0,即f(x)>cxg(x)+(1-c)x,故⑦成立. 2°若c≥1,由③④,得h′(

24、x)<0,故h(x)在[0,+∞)上為減函數(shù),從而h(x)<h(0)=0,即f(x)<cxg(x)+(1-c)x,故⑧成立. 綜合⑦⑧,得ag(x)+(1-a)<<bg(x)+(1-b). (理)(20xx·福建文,22)已知函數(shù)f(x)=ln x-. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)證明:當(dāng)x>1時,f(x)<x-1; (3)確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值,使得存在x0>1,當(dāng)x∈(1,x0)時,恒有f(x)>k(x-1). [分析] 考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. (1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x),解不等式f′(x)>

25、0并與定義域求交集,得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-(x-1),x∈(1,+∞).欲證明f(x)<x-1,只需證明F(x)的最大值小于0即可; (3)當(dāng)k≥1時,易知不存在x0>1滿足題意;當(dāng)k<1時,構(gòu)造函數(shù)G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)G(x)的單調(diào)性,討論得出結(jié)論. [解析] (1)f′(x)=-x+1=,x∈(0,+∞). 由f′(x)>0得 解得0<x<. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是. (2)證明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞). 則有F′(

26、x)=. 當(dāng)x∈(1,+∞)時,F(xiàn)′(x)<0, 所以F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減, 故當(dāng)x>1時,F(xiàn)(x)<F(1)=0,即當(dāng)x>1時,f(x)<x-1. (3)由(2)知,當(dāng)k=1時,不存在x0>1滿足題意. 當(dāng)k>1時,對于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),則f(x)<k(x-1),從而不存在x0>1滿足題意. 當(dāng)k<1時,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞), 則有G′(x)=-x+1-k=. 由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0. 解得x1=<

27、0, x2=>1. 當(dāng)x∈(1,x2)時,G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增. 從而當(dāng)x∈(1,x2)時,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1), 綜上,k的取值范圍是(-∞,1). 17.(文)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=-(a>0). (1)當(dāng)a=1時,若曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)P(x0,g(x0))處的切線平行,求實(shí)數(shù)x0的值; (2)若?x∈(0,e],都有f(x)≥g(x)+,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. [解析] (1)當(dāng)a=1時,f ′(x)=,g′(x)=.

28、 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線與函數(shù)g(x)在點(diǎn)P(x0,g(x0))處的切線平行, 所以=,解得x0=1. (2)若?x∈(0,e],都有f(x)≥g(x)+. 記F(x)=f(x)-g(x)-=lnx+-, 只要F(x)在(0,e]上的最小值大于等于0, F′(x)=-=, 則F′(x)、F(x)隨x的變化情況如下表: x (0,a) a (a,+∞) F′(x) - 0 + F(x)  極小值  當(dāng)a≥e時,函數(shù)F(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,F(xiàn)(e)為最小值, 所以F(e)=1+-≥0,得a≥,所以a≥e. 當(dāng)a<

29、;e時,函數(shù)F(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,e)上單調(diào)遞增,F(xiàn)(a)為最小值,所以F(a)=lna+-≥0,得a≥, 所以≤a<e,綜上a≥. (理)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+-1. (1)當(dāng)a=1時,求曲線f(x)在x=1處的切線方程; (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (3)當(dāng)a=時,設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2bx-,若對于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍. [解析] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=--a-, (1)當(dāng)a=1時,f(x)=lnx-x-1, ∴f(1)=-2,f′(x)=

30、-1,∴f′(1)=0 ∴f(x)在x=1處的切線方程為y=-2 (2)f′(x)=-a-==,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞) 當(dāng)a=0時,f′(x)=,f(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(0,1) 當(dāng)a≠0時,>1,即0<a<時,f(x)的增區(qū)間為(1,),減區(qū)間為(0,1),(,+∞) =1,即a=時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減 <1,即a>或a<0,當(dāng)a>時,f(x)的增區(qū)間為(,1),減區(qū)間為(0,),(1,+∞) 當(dāng)a<0時,f(x)的增區(qū)間為(0,),(1+∞);減區(qū)間為(,1). (3)當(dāng)a=時,由(Ⅱ)

31、知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值為f(1)=- 對于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在[1,2]上的最小值-(*) 又g(x)=x2-2bx-=(x-b)2-b2-,x∈[0,1] ①當(dāng)b<0時,g(x)在[0,1]上為增函數(shù), g(x)min=g(0)=->-與(*)矛盾 ②當(dāng)0≤b≤1時,g(x)min=g(b)=-b2-, 由-b2-≤-及0≤b≤1得,≤b≤1 ③當(dāng)b>1時,g(x)在[0,1]上為減函數(shù), g(x)min=g(1)=-2b≤-, 此時b>1 綜上所述,b的取值范圍是[,+∞). [方法點(diǎn)撥] 注意區(qū)分幾類問題的解法. ①對任意x∈A,f(x)>M(或f(x)<M)恒成立. ②存在x∈A,使f(x)>M(或f(x)<M)成立.

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