新課標(biāo)高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第8節(jié) 函數(shù)與方程課時訓(xùn)練 理

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1、 【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第8節(jié) 函數(shù)與方程課時訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 函數(shù)零點(diǎn)(個數(shù)) 2、3、4、7、9 確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間 1、6 利用函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)確定參數(shù)的取值(范圍) 5、10、14、16 函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題 8、11、12、13、15 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.(20xx廣州模擬)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=3x-x-3的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　B　) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 解析:由已知得f(0)=30-0-3=-2<0, f(1)

2、=3-1-3=-1<0, f(2)=32-2-3=4>0, 所以f(1)f(2)<0, 所以零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2). 2.函數(shù)f(x)=ex+3x的零點(diǎn)個數(shù)是(　B　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:易知f(x)=ex+3x在R上單調(diào)遞增, 又∵f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0, ∴函數(shù)只有一個零點(diǎn),故選B. 3.(20xx荊門調(diào)研)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不間斷的曲線,且有如下的對應(yīng)值: x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 -74 14.5 -56.7 -123.6 則函數(shù)y=f(x)在區(qū)

3、間[1,6]上的零點(diǎn)至少有(　B　) (A)2個 (B)3個 (C)4個 (D)5個 解析:依題意,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0, 故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有3個. 4.已知關(guān)于x的方程xln x=ax+1(a∈R),下列說法正確的是(　B　) (A)有兩不等根 (B)只有一正根 (C)無實(shí)數(shù)根 (D)不能確定 解析: 由xln x=ax+1(a∈R)知x>0, ∴l(xiāng)n x=a+1x,作出函數(shù)y1=ln x與y2=a+1x的圖象,易知選B. 5.已知x>0,符號[x]表示不超過x的最大整數(shù),若函數(shù)f(x)=[

4、x]x-a(x≠0)有且僅有3個零點(diǎn),則a的取值范圍是(　A　) (A)(34,45] (B)[34,45] (C)(12,23] (D)[12,23] 解析:當(dāng)0

5、A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)>0,f(x2)>0 (C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)<0,f(x2)>0 解析:令f(x)=11-x+ln x=0. 從而有l(wèi)n x=1x-1, 此方程的解即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn). 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ln x與y=1x-1的圖象如圖所示. 由圖象易知,1x1-1>ln x1, 從而ln x1-1x1-1<0, 故ln x1+11-x1<0, 即f(x1)<0. 同理f(x2)>0. 二、填空題 7.(20xx煙臺模擬)函數(shù)f(x)=cos x-log8x的零點(diǎn)個數(shù)為　　　　. 解析

6、:由f(x)=0得cos x=log8x, 設(shè)y=cos x,y=log8x,作出函數(shù)y=cos x,y=log8x的圖象,由圖象可知,函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為3. 答案:3 8.(20xx安徽安慶三模)若x1,x2是函數(shù)f(x)=x2+mx-2(m∈R)的兩個零點(diǎn),且x10,故函數(shù)f(x)一定有兩個不同的零點(diǎn),且兩個零點(diǎn)異號, 故x2>0,x1<0, 所以x2-x1=(x2+x1)2-4x1x2=m2+8≥22. 答案:22 9.(20xx浙江協(xié)作體模擬)函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>0,則函數(shù)y=

7、f[f(x)]+1的所有零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為　　　　. 解析:由f[f(x)]+1=0,得f[f(x)]=-1, 由f(x)=-1得x=-2或x=12, 則函數(shù)y=f[f(x)]+1的零點(diǎn)就是使f(x)=-2或f(x)=12的x值, 解f(x)=-2得x=-3或x=14; 解f(x)=12得x=-12或x=2, 從而函數(shù)y=f[f(x)]+1的零點(diǎn)構(gòu)成的集合為{-3,-12,14,2}. 答案:{-3,-12,14,2} 10.(20xx河北邯鄲一模)已知f(x)=12+x2+2x,x<0,f(x-1),x≥0,且函數(shù)y=f(x)+ax恰有3個不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　

8、　　. 解析:當(dāng)x<0時,f(x)=(x+1)2-12,把函數(shù)f(x)在[-1,0)上的圖象向右平移一個單位即得函數(shù)y=f(x)在[0,1)上的圖象,繼續(xù)右移可得函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的圖象.如果函數(shù)y=f(x)+ax恰有3個不同的零點(diǎn),即函數(shù)y=f(x),y=-ax的圖象有三個不同的公共點(diǎn),實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足-a<-12或14≤-a<12,即a>12或-12

9、圍. 解:(1)法一　設(shè)f(x)的兩個零點(diǎn)分別為x1,x2, 則x1+x2=-2m,x1x2=3m+4. 由題意,知 Δ=4m2-4(3m+4)>0,(x1+1)(x2+1)>0,(x1+1)+(x2+1)>0 ?m2-3m-4>0,3m+4-2m+1>0,-2m+2>0 ?m>4或m<-1,m>-5,m<1, ∴-50,-m>-1,f(-1)>0, 即m2-3m-4>0,m<1,1-2m+3m+4>0. ∴-5

10、2|+a=0, 即|4x-x2|=-a. 令g(x)=|4x-x2|, h(x)=-a. 作出g(x)、h(x)的圖象. 由圖象可知,當(dāng)0<-a<4, 即-40,其中e表示自然對數(shù)的底數(shù)). (1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍; (2)確定t的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實(shí)根. 解:(1)法一　g(x)=x+e2x≥2e2=2e,等號成立的條件是x=e. 故

11、g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需m≥2e, 則g(x)=m就有零點(diǎn). 法二　解方程g(x)=m, 得x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根,故m2>0,Δ=m2-4e2≥0. 等價于m>0,m≥2e或m≤-2e, 故m≥2e. 即m的取值范圍為[2e,+∞). (2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實(shí)根, 即函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點(diǎn),作出g(x)、f(x)的圖象. ∵f(x)=-x2+2ex+t-1 =-(x-e)2+t-1+e2. ∴其對稱軸為x=e,開口向下,最大值為t-1+e2. 故當(dāng)t-1+e2>2e, 即t>-e

12、2+2e+1時,g(x)與f(x)有兩個交點(diǎn), 即g(x)-f(x)=0有兩個相異實(shí)根. ∴t的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞). 能力提升 13.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點(diǎn)對稱.則稱點(diǎn)對[P,Q]是函數(shù)y=f(x)的一對“友好點(diǎn)對”(點(diǎn)對[P,Q]與[Q,P]看作同一對“友好點(diǎn)對”).已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0,-x2-4x,x≤0,則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對”有(　C　) (A)0對 (B)1對 (C)2對 (D)3對 解析:函數(shù)f(x)=log2x,x>0,-x2-4x,x≤0的圖象及函數(shù)f(x)=-x

13、2-4x(x≤0)的關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象如圖所示, 則A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)一定在函數(shù)f(x)=-x2-4x(x≤0)的圖象上,故函數(shù)f(x)的“友好點(diǎn)對”有2對,故選C. 14.若方程4-x2=k(x-2)+3有兩個不等的實(shí)根,則k的取值范圍是　　　　. 解析:作出函數(shù)y1=4-x2和y2=k(x-2)+3的圖象如圖所示,函數(shù)y1的圖象是圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓在x軸上方的部分(包括端點(diǎn)),函數(shù)y2的圖象是過定點(diǎn)P(2,3)的直線,點(diǎn)A(-2,0),kPA=3-02-(-2)=34. 直線PB是圓的切線,由圓心到直線的距離等于半徑得,|3-2kPB|kPB2+1=2, 得

14、kPB=512. 由圖可知當(dāng)kPB0,f(1)>0,求證: (1)a>0且-20,f(1)>0, 所以c>0,3a+2b+c>0. 由條件a+b+c=0,消去b,得a>c>0; 由條件a+b+c=0,消去c,得a+b<0, 2a+b>0,故-2

15、c的對稱軸為x=-b3a, 在-20,f(1)>0, 又f(-b3a)=3ac-b23a =3ac-a2-2ac-c23a =-a2-ac+c23a =-(a-c2)2+34c23a<0, 所以方程f(x)=0在區(qū)間(0,-b3a)與(-b3a,1)內(nèi)分別有一實(shí)根. 故函數(shù)y=f(x)在(0,1)內(nèi)有兩個零點(diǎn). 探究創(chuàng)新 16.(20xx北京模擬)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且滿足f(x+2)=f(x).當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=2x.若在區(qū)間[-2,2]上方程ax+a-f(x)=0恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. 解析:由f(x+2)=f(x)得函數(shù)的周期是2. 由ax+a-f(x)=0得f(x)=ax+a, 設(shè)y=f(x),y=ax+a,作出函數(shù)y=f(x),y=ax+a的圖象. 如圖,要使方程ax+a-f(x)=0恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根, 則直線y=ax+a=a(x+1)的斜率滿足0≤a