全國通用高考數(shù)學(xué) 二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題24 填空題解題技能訓(xùn)練含解析

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1、 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題24 填空題解題技能訓(xùn)練(含解析) 一、填空題 1.(文)(20xx石家莊市質(zhì)檢)如下圖所示,某幾何體的正視圖是平行四邊形,側(cè)視圖和俯視圖都是矩形,則該幾何體的體積為________. [答案] 9 [解析] 由三視圖可知,該幾何體是斜四棱柱,四棱柱底面是矩形,長3,寬3,四棱柱的高h(yuǎn)==,∴體積V=33=9. (理)(20xx商丘市二模)已知△ABC的三個頂點在以O(shè)為球心的球面上,且∠BAC=90,AB=AC=2,球心O到平面ABC的距離為1,則球O的表面積為________. [答案

2、] 12π [解析] 由已知得:BC=2,球O的半徑R==,故其表面積S=4πR2=4π()2=12π. [方法點撥] 直接法 對于計算型試題,多通過直接計算得出結(jié)果、解題時,直接從題設(shè)條件出發(fā),利用有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論等,通過巧妙變形,簡化計算過程,靈活運用有關(guān)運算規(guī)律和技巧合理轉(zhuǎn)化、簡捷靈活的求解. 用直接法求解填空題,要根據(jù)題目的要求靈活處理,多角度思考問題,注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用,將計算過程簡化從而得到結(jié)果. 2.(文)(20xx新課標(biāo)Ⅰ理,14)一個圓經(jīng)過橢圓+=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. [答案] (x-)2+y2

3、= [解析] 考查橢圓的幾何性質(zhì);圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. ∵圓心在x軸的正半軸上,故設(shè)圓心為(a,0),a>0,則半徑為4-a,∵此圓過橢圓的三個頂點A(0,2),B(0,-2),C(4,0),∴(4-a)2=a2+22,解得a=或a=-(舍去),故圓的方程為(x-)2+y2=. (理)(20xx中原名校聯(lián)考)已知橢圓+=1,A、C分別是橢圓的上、下頂點,B是左頂點,F(xiàn)為左焦點,直線AB與FC相交于點D,則∠BDF的余弦值是________. [答案]  [解析] 由條件知A(0,),B(-2,0),C(0,-),F(xiàn)(-1,0),直線AB:x-2y+2=0,CF:x+y+=0,∴D(-,),

4、=(-,-),=(,-),cos∠BDF==. 3.(文)設(shè)0,a1a2+b1b2=<,a1b2+a2b1=<,故最大的是a1b1+a2b2. (理)已知函數(shù)y=f(x),對任意的兩個不相等的實數(shù)x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)成立,且f(0)≠0,則f(-20xx)f(-20xx)…f(20xx)f

5、(20xx)的值是________. [答案] 1 [解析] f(x)為抽象函數(shù),只知滿足條件f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(0)≠0,故可取滿足此條件的特殊函數(shù)來求解. 令f(x)=2x,則對任意的兩個不相等的實數(shù)x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)成立,f(0)=20=1,f(-20xx)f(20xx)=f(0)=1,f(-20xx)f(20xx)=f(0)=1,…,所以f(-20xx)f(-20xx)…f(20xx)f(20xx)=1. [方法點撥] 特殊值法 當(dāng)填空題的已知條件中含有某些不確定的量,但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答

6、案是一個定值時,可以從題中變化的不定量中選取符合條件的某個特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理,從而得出探求的結(jié)論. 求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值法,但此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題,對于開放性的問題或者有多種答案的填空題,則不能使用該種方法求解. 試一試解答下題: 如圖,在△ABC中,點M是BC的中點,過點M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點P、Q,若=λ,=μ,則+=________. [答案] 2 [解析] 由題意可知,+的值與點P、Q的位置無關(guān),而當(dāng)直線BC與直線PQ重合時,有λ=μ=1,所以+=2

7、. 4.△ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高相交于點H,若=m(++),則實數(shù)m=________. [答案] 1 [解析] 如圖在Rt△ABC中,外接圓圓心O為斜邊AB的中點,垂心H即為C點,由已知=m(++)=m,則m=1. 5.(文)(20xx大綱理,15)直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線,若l1與l2的交點為(1,3),則l1與l2的夾角的正切值等于________. [答案]  [解析] 設(shè)l1、l2與⊙O分別相切于B、C,則∠OAB=∠OAC,|OA|=,圓半徑為, ∴|AB|==2,∴tan∠OAB==, ∴所夾角的正切值 tan∠CAB===

8、. (理)(20xx遼寧理,15)已知橢圓C:+=1,點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A、B,線段MN的中點在C上,則|AN|+|BN|=________. [答案] 12 [解析] 如圖. 設(shè)MN與橢圓的交點為D,由中位線定理. |AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|) 由橢圓的定義知|DF1|+|DF2|=2a=6. ∴|AN|+|BN|=12. [方法點撥] 數(shù)形結(jié)合法 對于一些含有幾何背景的填空題,若能根據(jù)題目中的條件,作出符合題意的圖形,并通過對圖形的直觀分析、判斷,即可快速得出正確結(jié)果.這類問題的幾何意義一般較為明顯,如一次函數(shù)的斜

9、率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等,求解的關(guān)鍵是明確幾何含義,準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形. 1.?dāng)?shù)形結(jié)合法適用于給出圖形的問題,或容易作出圖象的函數(shù)問題,或表達(dá)式具有明顯幾何意義的解析幾何問題等. 2.應(yīng)用時要注意:①作圖要盡量準(zhǔn)確;②抓準(zhǔn)圖形與變量間的對應(yīng)關(guān)系. 請練習(xí)下題: 向量=(1,0),=(+cosθ,1+sinθ),則與夾角的取值范圍是________. [答案] [0,] [解析] 依題意在坐標(biāo)系中B(1,0)、A(+cosθ,1+sinθ),點A在圓(x-)2+(y-1)2=1的圓周上運動,如圖,當(dāng)A點為切點M時,與的夾角取最大值,容易求得為;當(dāng)A點為切點N

10、時,夾角取最小值0,故取值范圍是[0,]. 6.不等式-kx+1≤0的解集非空,則k的取值范圍為________. [答案] (-∞,-]∪[,+∞) [解析] 由-kx+1≤0,得≤kx-1,設(shè)f(x)=,g(x)=kx-1,顯然函數(shù)f(x)和g(x)的定義域都為[-2,2].令y=,兩邊平方得x2+y2=4,故函數(shù)f(x)的圖象是以原點O為圓心,2為半徑的圓在x軸上及其上方的部分. 而函數(shù)g(x)的圖象是直線l:y=kx-1在[-2,2]內(nèi)的部分,該直線過點C(0,-1),斜率為k. 如圖,作出函數(shù)f(x),g(x)的圖象,不等式的解集非空,即直線l和半圓有公共點,可知k的幾何意

11、義就是半圓上的點與點C(0,-1)連線的斜率. 由圖可知A(-2,0),B(2,0),故kAC==-,kBC==. 要使直線和半圓有公共點,則k≥或k≤-. 所以k的取值范圍為(-∞,-]∪[,+∞). 7.(20xx商丘市二模)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知ac=b2-a2,A=,則B=________. [答案]  [解析] 由余弦定理得cosA====,∴a+c=b,由正弦定理得:sinA+sinC=sinB,又C=-B,∴sinA+sin=sinB,即+cosB+sinB=sinB,即cosB-sinB=cos=-,∴B+=,B=. 8.a(chǎn)=ln

12、-,b=ln-,c=ln-,則a、b、c的大小關(guān)系為________. [答案] a>b>c [解析] 令f(x)=lnx-x,則f ′(x)=-1=. 當(dāng)00,即函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù). ∵1>>>>0,∴a>b>c. [方法點撥] 構(gòu)造法 用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型,從而簡化推導(dǎo)與運算過程.構(gòu)造法是建立在觀察分析、聯(lián)想類比的基礎(chǔ)之上的.首先應(yīng)觀察已知條件形式上的特點,然后聯(lián)想、類比已學(xué)過的知識及各種數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)模型,深刻地了解問題及問題的幾何背景或代數(shù)背景,從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型,達(dá)到快速

13、解題的目的. 構(gòu)造法實質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用,需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向,通過構(gòu)造新的模型,從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題.常見的構(gòu)造法有:構(gòu)造函數(shù)(如用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)中經(jīng)常要構(gòu)造函數(shù))、構(gòu)造方程、構(gòu)造不等式、構(gòu)造數(shù)列、立體幾何中的補形構(gòu)造等等. 試一試解答下題: 如圖,已知球O的球面上有四點A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,則球O的體積等于________. [答案] π [解析] 如圖,以DA、AB、BC為棱長構(gòu)造正方體,設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R,則正方體的體對角線長即為球O的直徑,所以|CD|==2R,所以

14、R=,故球O的體積V==π. 9.(文)設(shè)(x-3)2+(y-3)2=6,則的最大值為________. [答案] 3+2 [解析] 設(shè)=k,則可轉(zhuǎn)化為直線kx-y=0與圓(x-3)2+(y-3)2=6有公共點時k的取值范圍,用代數(shù)法(Δ≥0)或幾何法(d≤r)解決. (理)已知P(x,y)是橢圓+=1上的一個動點,則x+y的最大值是________. [答案] 5 [解析] 令x+y=t,則問題轉(zhuǎn)化為直線x+y=t與橢圓有公共點時,t的取值范圍問題. 由消去y得,25x2-32tx+16t2-144=0, ∴Δ=(-32t)2-100(16t2-144)=-576t2+1

15、4400≥0, ∴-5≤t≤5,∴x+y的最大值為5. 10.(文)已知a、b是正實數(shù),且滿足ab=a+b+3,則a+b的取值范圍是________. [答案] [6,+∞) [解析] ∵a、b是正實數(shù)且ab=a+b+3,故a、b可視為一元二次方程x2-mx+m+3=0的兩個根,其中a+b=m,ab=m+3,要使方程有兩個正根,應(yīng)有 解得m≥6, 即a+b≥6,故a+b的取值范圍是[6,+∞). [點評] 還可以利用基本不等式將ab≤2代入條件式中,視a+b為變量構(gòu)造一元二次不等式解答. (理)已知x>0,比較x與ln(1+x)的大小,結(jié)果為________. [答案] x>

16、ln(1+x) [解析] 解法一:令x=1,則有1>ln2, ∴x>ln(1+x). 解法二:令f(x)=x-ln(x+1). ∵x>0,f′(x)=1-=>0, 又因為函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù), ∴f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù). 從而當(dāng)x>0時, f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0. ∴x>ln(1+x). 解法三:在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x與y=ln(1+x)的圖象,可見x>0時,x>ln(1+x). 11.在三棱錐O-ABC中,三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直,且OA=OB=OC,M是AB的中點,則OM與平面ABC所成角的正切值為________.

17、 [答案]  [解析] 將此三棱錐補成正方體,如圖所示.連接CM,過點O作ON⊥CM于N,則ON⊥平面ABC.∴OM與平面ABC所成的角是∠OMC.在Rt△OMC中,tan∠OMC===,即OM與平面ABC所成角的正切值為. 12.sin2(α-30)+sin2(α+30)-sin2α的值等于________. [答案]  [解析] 問此式的“值”等于多少?隱含此結(jié)果與α無關(guān),于是不妨對α進(jìn)行特殊化處理.不妨取α=0,則sin2(α-30)+sin2(α+30)-sin2α=+-0=. 13.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若=,則等于________. [答案] 1 [解

18、析] 依題意,可取一個特殊的等差數(shù)列:13,11,9,7,5,3,1,-1,-3,其中a5=5,a3=9滿足條件.可求得S9=S5=45,故=1. [點評] 1.取特殊等差數(shù)列時,可依據(jù)=來取a3=9,a5=5. 2.本題也可以直接用等差數(shù)列的性質(zhì)求解:===1. 14.(文)函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)為________個. [答案] 3 [解析] 依題意,在x>0時可以畫出y=lnx與y=x2-2x的圖象,可知兩個函數(shù)的圖象有兩個交點,當(dāng)x≤0時,函數(shù)f(x)=2x+1與x軸只有一個交點,所以函數(shù)f(x)有3個零點. (理)已知數(shù)列{an}滿足a1=33,an+1-an=2n,則的

19、最小值為________. [答案]  [解析] an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…+(n-1)]+33=n2-n+33. 所以=+n-1,設(shè)f(x)=+x-1(x>0), 令f ′(x)=+1>0,則f(x)在(,+∞)上是單調(diào)遞增的,在(0,)上是單調(diào)遞減的,因為n∈N*,所以當(dāng)n=5或6時f(x)有最小值.又因為=,==, 所以的最小值為=. [方法點撥] 填空題是高考題中的客觀性試題,具有小巧靈活、結(jié)構(gòu)簡單、運算量不大等特點.因而求解選擇題的有關(guān)策略、方法有時也適合于填空題,大題的解答思路也可以照搬到填空題上.但由于填

20、空題不用說明理由,不用書寫解答過程,跨度大,覆蓋面廣,形式靈活,突出考查考生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面靈活地運用所學(xué)知識和方法解決問題的能力和計算能力、識圖讀表能力、邏輯思維能力等.要想又快又準(zhǔn)地答好填空題,除直接推理計算外,還要講究一些解題策略.解答填空題要做到:快——運算要快,力戒小題大做;穩(wěn)——計算、變形要穩(wěn),不可操之過急;全——答案要全,力避殘缺不全;活——解題方法靈活,不生搬硬套;細(xì)——審題要細(xì),注意細(xì)節(jié)和特殊情況,不要粗心大意. 15.(文)若銳角α、β、γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1,則tanαtanβtanγ的最小值為________. [答案] 2 [解析] 借助已

21、知條件可構(gòu)造一個長方體AC1如圖所示,使它的三邊長度分別為a、b、c,且設(shè)相交于同一頂點的三棱與交于此頂點的對角線所成的角分別為α、β、γ則 tanαtanβtanγ=≥=2. [點評] 此題通過構(gòu)造一個適合題設(shè)條件的長方體,將一個抽象的三角最值問題,轉(zhuǎn)化為一個較易解決的代數(shù)不等式的問題.構(gòu)造幾何體利用幾何體的直觀數(shù)形結(jié)合,使問題變得容易解決. (理)空間一條直線l1與一個正四棱柱的各個面所成的角都為α,而另一條直線l2與這個正四棱柱的各條棱所成的角都為β,則sin2α+sin2β=________. [答案] 1 [解析] 由正四棱柱的對稱性知,若直線l1與各面成角都相等,則該直線一定經(jīng)過或平行于四棱柱的一條體對角線,l2也一樣,于是取對角線BD1研究,則α=∠BD1B1,β=∠BD1D, ∴sin2α+sin2β=sin2α+cos2α=1.

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