精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第二講 四 弦切角的性質(zhì) Word版含解析

最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 四弦切角的性質(zhì) [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P28] 弦切角定理 (1)文字語(yǔ)言敘述： 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角． (2)圖形語(yǔ)言敘述： 如圖，AB與⊙O切于A點(diǎn)，則∠BAC＝∠D. [說(shuō)明]　弦切角的度數(shù)等于它所夾弧度數(shù)的一半，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半，圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P29] 弦切角定理 [例1]　(2010新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，已知圓上的?。剑^(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BECD. [思路點(diǎn)撥]　利用弦切角定理． [證明]　(1)因?yàn)椋剑? 所以∠BCD＝∠ABC. 又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C， 故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB. 故＝， 即BC2＝BECD. 利用弦切角定理進(jìn)行計(jì)算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對(duì)的圓周角，有時(shí)與圓的直徑所對(duì)的圓周角結(jié)合運(yùn)用，同時(shí)要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構(gòu)成所需要的弦切角． 1．如圖，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC＝56，則∠ECA＝________. 解析：連接BC， ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90. ∴∠B＝90－∠BAC＝90－56＝34. 又∵EF與⊙O相切于點(diǎn)C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34. 答案：34 2.如圖，AB是⊙O的弦，CD是經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)M的切線，求證： (1)如果AB∥CD，那么AM＝MB； (2)如果AM＝BM，那么AB∥CD. 證明：(1)∵CD切⊙O于M點(diǎn)， ∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B. ∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A. ∴∠A＝∠B，故AM＝MB. (2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B. ∵CD切⊙O于M點(diǎn)，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD. 3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB. (1)求證：AD⊥CD； (2)若AD＝2，AC＝，求AB的長(zhǎng)． 解：(1)證明：如圖，連接BC. ∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90. ∴∠ADC＝90，即AD⊥CD. (2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB. ∴＝， ∴AC2＝ADAB. ∵AD＝2，AC＝，∴AB＝. 運(yùn)用弦切角定理證明比例式或乘積式 [例2]　如圖，PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分別為D，E，F(xiàn). 求證：CD2＝CECF. [思路點(diǎn)撥]　→ →→ [證明]　連接CA、CB. ∵PA、PB是⊙O的切線， ∴∠CAP＝∠CBA， ∠CBP＝∠CAB. 又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽R(shí)t△CBD， Rt△CBF∽R(shí)t△CAD， ∴＝，＝， ∴＝，即CD2＝CECF. 證明乘積式成立，往往與相似三角形有關(guān)，若存在切線，常要尋找弦切角，確定三角形相似的條件，有時(shí)需要添加輔助線創(chuàng)造條件． 4．如圖，已知MN是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求證：AC2＝AEAB. 證明：連接BC. ?△ACE∽△ABC ?＝?AC2＝ABAE. 5．如圖，AD是△ABC的角平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC與⊙O相交于點(diǎn)E、F，連接DF，EF. (1)求證：EF∥BC； (2)求證：DF2＝AFBE. 證明：(1)∵⊙O切BC于D， ∴∠CAD＝∠CDF. ∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠BAD＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠CDF. ∴EF∥BC. (2)連接DE， ∵⊙O切BC于D， ∴∠BAD＝∠BDE. 由(1)可得∠BDE＝∠FAD， 又∵⊙O內(nèi)接四邊形AEDF， ∴∠BED＝∠DFA. ∴△BED∽△DFA. ∴＝. 又∵∠BAD＝∠CAD， ∴DE＝DF.∴DF2＝AFBE. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P30] 一、選擇題 1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，則(　　) A．∠MCB＝∠B　　　　　 B．∠PAC＝∠P C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA 解析：由弦切角定理知∠PCA＝∠B. 答案：C 2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，EC切⊙O于點(diǎn)C.若∠BOC＝76，則∠BCE等于(　　) A．14　　　　　　　 B．38 C．52 D．76 解析：∵EC為⊙O的切線， ∴∠BCE＝∠BAC＝∠BOC＝38. 答案：B 3．如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長(zhǎng)為(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 解析：連接BC，則∠ACB＝90， 又AD⊥EF， ∴∠ADC＝90， 即∠ADC＝∠ACB， 又∵∠ACD＝∠ABC， ∴△ABC∽△ACD， ∴AC2＝ADAB＝12， 即AC＝2. 答案：C 4．如圖，AB是⊙O直徑，P在AB的延長(zhǎng)線上，PD切⊙O于C點(diǎn)，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的半徑為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：連接BC. ∵AC＝PC，∴∠A＝∠P. ∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P. ∴BC＝BP＝1. 由△BCP∽△CAP得 PC2＝PBPA， 即AC2＝PBPA. 而AC2＝AB2－BC2， 設(shè)⊙O半徑為r， 則4r2－12＝1(1＋2r)，解得r＝1. 答案：A 二、填空題 5.如圖，已知AB與⊙O相切于點(diǎn)M，且＝，且，為圓周長(zhǎng)，則∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝________. 解析：弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角，等于所夾弦所對(duì)圓心角度數(shù)的一半． 答案：45　135　45　90 6．如圖，AB是⊙O的直徑，PB，PE分別切⊙O于B，C，若∠ACE＝40，則∠P＝________. 解析：連接BC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90. 又∠ACE＝40， ∴∠PCB＝∠PBC＝50.∴∠P＝80. 答案：80 7.如圖，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延長(zhǎng)線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD＝________. 解析：連接OC， ∵PC切⊙O于C點(diǎn)， ∴OC⊥PC. ∵PB＝OB＝2，OC＝2. ∴PC＝2. ∵OCPC＝OPCD， ∴CD＝＝. 答案： 三、解答題 8.如圖所示，⊙O1與⊙O2交于 A、B兩點(diǎn)，過(guò)⊙O1上一點(diǎn)P作直線PA、PB分別交⊙O2于點(diǎn)C和點(diǎn)D，EF切⊙O1于點(diǎn)P. 求證：EF∥CD. 證明：如圖，連接AB， ∵EF是⊙O切線， ∴∠FPA＝∠PBA. 又在⊙O2中，ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形， ∴∠C＝∠ABP.∴∠FPA＝∠C. ∴EF∥CD. 9.如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，直線XY切⊙O于點(diǎn)C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E. (1)求證：△ABE≌△ACD； (2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm， 求AE的長(zhǎng)． 解：(1)證明：因?yàn)閄Y是⊙O的切線， 所以∠1＝∠2. 因?yàn)锽D∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3. 因?yàn)椤?＝∠4，所以∠2＝∠4. 因?yàn)椤螦BD＝∠ACD，又因?yàn)锳B＝AC， 所以△ABE≌△ACD. (2)因?yàn)椤?＝∠2，∠ABC＝∠ACB， 所以△BCE∽△ACB，＝， ACCE＝BC2. 因?yàn)锳B＝AC＝6 cm，BC＝4 cm， 所以6(6－AE)＝16. 所以AE＝ cm. 10.如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AD平分∠BAC交圓O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線交直線AD于點(diǎn)E. (1)求證：∠EBD＝∠CBD； (2)求證：ABBE＝AEDC. 證明：(1)∵BE為圓O的切線， ∴∠EBD＝∠BAD， 又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠EBD＝∠CAD， 又∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠EBD＝∠CBD. (2)在△EBD和△EAB中， ∠E＝∠E，∠EBD＝∠EAB， ∴△EBD∽△EAB， ∴＝， ∴ABBE＝AEBD， 又∵AD平分∠BAC, ∴BD＝DC， 故ABBE＝AEDC. 最新精品資料