浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練：第3部分 專題一 第3講 拉分題巧妙解每分都要爭(zhēng)

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1、 第三講　拉分題——巧妙解，每分都要爭(zhēng) 高考是選拔性的考試，必然要具備選拔的功能，試卷中必然要有綜合考查數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的能力型試題，即拉分題(亦即壓軸題)．對(duì)大部分考生來(lái)說(shuō)，在解決好前兩類問(wèn)題的前提下，如何從拿不下的題目(壓軸題)中分段得分，是考生高考數(shù)學(xué)能否取得圓滿成功的重要標(biāo)志，是考生能否達(dá)到“名牌大學(xué)任我挑”的關(guān)鍵，對(duì)此可采用如下四招達(dá)到高分的目的： 第一招　缺 步 解 答 —————————————————————————————————————— 如遇到一個(gè)不會(huì)做的問(wèn)題，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個(gè)個(gè)小問(wèn)題，先解決問(wèn)題的一部分，能解決多少

2、就解決多少，能寫幾步就寫幾步．特別是那些解題層次明顯的題目，每一步演算到得分點(diǎn)時(shí)都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過(guò)半．如： [例1]　(20xx·四川高考)(13分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且＝＋，求點(diǎn)Q的軌跡方程． [嘗試解答]　(試一試，看看能得多少分) —————————————————————————————————————— ——————————————————

3、———————————————————— —————————————————————————————————————— [解題規(guī)范與評(píng)分細(xì)則] (1)由橢圓定義知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ＋ ＝2， 所以a＝.?2分 又由已知，c＝1， 所以橢圓C的離心率e＝＝＝.?4分 (2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)． ①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，－1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.?6分 ②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2. 因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1＋2

4、)，(x2，kx2＋2)，則|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x. 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2. 由＝＋，得 ＝＋， 即＝＋＝ .?、?8分 將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.?、? 由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，得k2>. 由②可知，x1＋x2＝，x2x2＝， 代入①中并化簡(jiǎn)，得 x2＝.　③?10分 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化簡(jiǎn)，得10(y－2)2－3x2＝18. ?11分 由③及k2>，可知0<

5、;x2<，即x∈∪. 又滿足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈. 由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以－1≤y≤1， 又由10(y－2)2＝18＋3x2有 (y－2)2∈且－1≤y≤1，則y∈. 所以點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.?13分 (1)本題第(1)問(wèn)為已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的離心率問(wèn)題，屬于容易題． (2)本題的難點(diǎn)在于第(2)問(wèn)中確定軌跡方程及方程中各變量的取值范圍，本題有一定的難度，要想拿到全分很難，這就應(yīng)該學(xué)會(huì)缺步解答． 首先，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，若需要設(shè)直線方程，應(yīng)考慮直線的斜率是否存在，因此當(dāng)直

6、線l的斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.這是每位考生都應(yīng)該能做到的． 其次，聯(lián)立直線方程與橢圓方程并設(shè)出M，N，Q的坐標(biāo)，通過(guò)＝＋，得到＝＋＝，然后由x1＋x2及x1x2聯(lián)想一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將問(wèn)題解決到x2＝是完全可以做到的，到此已經(jīng)可以得到10分． 另外，考慮到點(diǎn)Q在直線l上，將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入所設(shè)直線方程就能得到10(y－2)2－3x2＝18，到此便可以得到11分． 到此不能繼續(xù)往下解時(shí)，我們也已經(jīng)得到絕大部分分?jǐn)?shù)了． 第二招　跳 步 解 答 ——————————————————————————————————————解題過(guò)程中卡在某一過(guò)渡環(huán)節(jié)上是常見的，這時(shí)，我們可以先承

7、認(rèn)中間結(jié)論，往后推，看能否得到結(jié)論．若題目有兩問(wèn)，第(1)問(wèn)想不出來(lái)，可把第(1)問(wèn)作“已知”，先做第(2)問(wèn)，跳一步再解答，如： [例2]　(20xx·湖北高考)(14分)設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)． (1)求函數(shù)f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值； (2)證明：<nr<； (3)設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[2]＝2，[π]＝4，＝－1.令S＝＋＋＋…＋，求[S]的值． (參考數(shù)據(jù)：80≈344.7,81≈350.5,124≈618.3,126≈631.7) [嘗試解答]　(試一試，看看能得多少分) —

8、————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— [解題規(guī)范與評(píng)分細(xì)則] (1)因?yàn)閒′(x)＝(r＋1)(1＋x)r－(r＋1)＝(r＋1)·[(1＋x)r－1]，令f′(x)＝0，解得x＝0.?2分 當(dāng)－1<x<0時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,0)內(nèi)是減函數(shù)； 當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)． 故函數(shù)f(x)在x

9、＝0處取得最小值f(0)＝0.?4分 (2)證明：由(1)知，當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r＋1≥1＋(r＋1)x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立， 故當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，有 (1＋x)r＋1>1＋(r＋1)x.?、?6分 在①中，令x＝(這時(shí)x>－1且x≠0)，則有r＋1>1＋. 上式兩邊同乘nr＋1，得(n＋1)r＋1>nr＋1＋nr(r＋1)，即nr<.?、?8分 當(dāng)n>1時(shí)，在①中令x＝－(這時(shí)x>－1且x≠0)，類似可得nr>.?、? 且當(dāng)n＝1時(shí)，③也成立． 綜合②③得 <nr

10、<.?、?10分 (3)在④中，令r＝，n分別取值81,82,83，…，125，得 (81－80)<<(82－81)， (82－81)<<(83－82)， (83－82)<<(84－83)， …… (125－124)<<(126－125)， 將以上各式相加，并整理得 (125－80)<S<(126－81)．?12分 代入數(shù)據(jù)計(jì)算，可得(125－80)≈210.2， (126－81)≈210.9. 由[S]的定義，得[S]＝211.?14分 本題第(2)問(wèn)難度較大，但我們可以跳過(guò)第(2)問(wèn)，直接求解第(

11、3)問(wèn)，這就是所謂的跳步解答．而本題在求解第(3)問(wèn)時(shí)利用了第(2)問(wèn)的結(jié)論，雖然沒有證出第(2)問(wèn)，但第(3)問(wèn)同樣可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)． 第三招　輔 助 解 答 —————————————————————————————————————— 一道題目的完整解答，既有主要的實(shí)質(zhì)性的步驟，也有次要的輔助性的步驟．實(shí)質(zhì)性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉．如：準(zhǔn)確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，根據(jù)題目的意思列出要用的公式等．羅列這些小步驟都是有分的，這些全是解題思路的重要體現(xiàn)，切不可以不寫，對(duì)計(jì)算能力要求高的，實(shí)行解到哪里算哪里的策略．書寫也是輔助解答，“書寫要工整，卷面能得分

12、”是說(shuō)第一印象好會(huì)在閱卷老師的心理上產(chǎn)生光環(huán)效應(yīng)．如： [例3]　(12分)如圖，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝t2,1<t<3與橢圓C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2分別為C2的左，右頂點(diǎn)． (1)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積； (2)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程． [嘗試解答]　(試一試，看看能得多少分) —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————————————————————————————————

13、——————————— [解題規(guī)范與評(píng)分細(xì)則] (1)設(shè)A(x0，y0)，則矩形ABCD的面積S＝4|x0||y0|.?1分 由＋y＝1，得y＝1－，?3分 從而xy＝x＝－2＋. 當(dāng)x＝，y＝時(shí)，Smax＝6.?5分 從而t＝時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為6. (2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)，知直線AA1的方程為y＝(x＋3)，①?6分 直線A2B的方程為y＝(x－3)．②?7分 由①×②得y2＝(x2－9)．③?9分 又點(diǎn)A(x0，y0)在橢圓C上，故y＝1－.④ 將④代入③得－y2

14、＝1(x<－3，y<0)．?11分 因此點(diǎn)M的軌跡方程為－y2＝1(x<－3，y<0)．?12分 第(2)問(wèn)要求交點(diǎn)M的軌跡方程，不易求解，考生可以利用圖形的對(duì)稱性設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式可寫出兩直線方程．這類根據(jù)圖形或題意寫出一些點(diǎn)的坐標(biāo)、方程、公式或正確做出圖形等的方法，為輔助解答法，像這種情況，閱卷老師一般會(huì)酌情給分． 第四招　逆 向 解 答 —————————————————————————————————————— 對(duì)一個(gè)問(wèn)題正面思考發(fā)生思維受阻時(shí)，用逆向思維的方法去探求新的解題途徑，往往能得到突破性的進(jìn)展，順向推有困難就逆推，直接證有困

15、難就反證．如： [例4]　(12分)設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N*)． (1)若a1，S2，－2a2成等比數(shù)列，求S2和a3； (2)求證：對(duì)k≥3有0≤ak＋1≤ak≤. [嘗試解答]　(試一試，看看能得多少分) —————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————————————————————————————— [解題規(guī)范與評(píng)分細(xì)則] (1)由題意得S＝－2S2， 由S2是等比中項(xiàng)知S2≠0，因此S2＝－2

16、.?2分 由S2＋a3＝S3＝a3S2，解得 a3＝＝＝.?4分 (2)證明：由題設(shè)條件有Sn＋an＋1＝an＋1Sn， 故Sn≠1，an＋1≠1且an＋1＝，Sn＝， 從而對(duì)k≥3，有 ak＝＝＝＝.　① 因a－ak－1＋1＝2＋>0且a≥0，由①得ak≥0.?7分 要證ak≤，由①只要證≤， 即證3a≤4(a－ak－1＋1)， 即(ak－1－2)2≥0，此式明顯成立， 因此ak≤(k≥3)．?9分 最后證ak＋1≤ak，若不然ak＋1＝>ak， 又因ak≥0，故>1，即(ak－1)2<0，矛盾． 因此ak＋1≤ak(k≥3)．?11分 所以，對(duì)k≥3有0≤ak＋1≤ak≤.?12分 本題對(duì)分析問(wèn)題的能力要求極高，對(duì)數(shù)學(xué)證明的靈活性要求也非常高．本題的一個(gè)誤區(qū)就是試圖求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，在以考查不等式的證明為主的數(shù)列試題中，有很多試題是不需要求出其通項(xiàng)公式的(大部分題目也求不出通項(xiàng)公式)，而是根據(jù)給出的已知條件直接變換后進(jìn)行推理論證，在解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問(wèn)題時(shí)，要樹立這個(gè)思想意識(shí)．本題在證明ak≤及ak＋1≤ak時(shí)，直接證明比較困難，但利用反證法，從問(wèn)題的反面入手就容易多了．