精校版高中數(shù)學(xué) 1.3組合導(dǎo)學(xué)案 蘇教版選修23

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1、最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料 最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料 1.3　組合 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點、難點 1．通過實例能理解組合的概念； 2．能利用計數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式； 3．能理解組合數(shù)的有關(guān)性質(zhì)； 4．能用組合數(shù)公式解決簡單的實際問題. 重點：排列與組合的區(qū)分，及組合數(shù)公式． 難點：排列與組合的區(qū)分，利用組合數(shù)公式解決簡單的實際問題. 1．組合的概念 一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 預(yù)習(xí)交流1 如何區(qū)分排列問題和組合問題？ 提示：區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換

2、某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；而交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題． 2．組合數(shù) 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號C表示． C＝＝＝. 預(yù)習(xí)交流2 如何理解和記憶組合數(shù)公式？ 提示：同排列數(shù)公式相類比，在排列數(shù)公式的基礎(chǔ)上，分母再乘以m！. 3．組合數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1：C＝C，性質(zhì)2：C＝C＋C. 預(yù)習(xí)交流3 如何理解和記憶組合數(shù)的性質(zhì)？ 提示：從n個元素中取m個元素，就剩余(n－m)個元素，故C＝C.從n＋1個元素中取m個元素記作C，可認為分作兩類：第一類為含有某元素a

3、的取法為C；第二類不含有此元素a，則為C，由分類計數(shù)原理知：C＝C＋C. 在預(yù)習(xí)中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請在下列表格中做個備忘吧！ 我的學(xué)困點 我的學(xué)疑點 一、組合問題 判斷下列問題是組合問題，還是排列問題． ①設(shè)集合A＝{a，b，c，d}，則集合A的含3個元素的子集有多少個？ ②一個班中有52人，任兩個人握一次手，共握多少次手？ ③4人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？ 思路分析：交換兩個元素的順序，看結(jié)果是否有影響，如無影響則是組合問題． 解：①因為集合中取出的元素具有“無序性”，故這是組合問題； ②因為兩人握手

4、是相互的，沒有順序之分，故這是組合問題； ③因為5種工作是不同的，一種分工方法就是從5種不同的工作中選出4種，按一定的順序分配給4個人，它與順序有關(guān)，故這是排列問題． 下列問題中，是組合問題的有__________． ①從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選法； ②從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法； ③a，b，c，d四支足球隊進行單循環(huán)賽，共需多少場比賽； ④a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果． 答案：①③ 解析：①2名學(xué)生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題； ②2名學(xué)生完成兩

5、件不同的工作，有順序，是排列問題； ③單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題； ④冠亞軍是有順序的，是排列問題． 組合問題與順序無關(guān)，而排列問題與順序有關(guān)． 二、組合數(shù)公式及組合數(shù)的性質(zhì) (1)計算C＋C； (2)已知C＝C，求n； (3)化簡C＋C＋C＋C＋1. 思路分析：先把組合數(shù)利用性質(zhì)化簡或利用組合數(shù)性質(zhì)直接求解． 解：(1)C＋C＝C＋C＝＋200＝5 150. (2)由C＝C，知3n＋6＝4n－2或3n＋6＋(4n－2)＝18，解得n＝8或2. 而3n＋6≤18且4n－2≤18，即n≤4且n∈N*，∴n＝2. (3)C＋C＋C＋C

6、＋1＝1＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝126. (1)C＋C＋C＋…＋C＝__________； (2)(C＋C)÷A＝__________. 答案：(1)329　(2) 解析：(1)原式＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1＝329. (2)原式＝C÷A＝C÷A＝÷A＝. 利用組合數(shù)的性質(zhì)解題時，要抓住公式的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用時，可結(jié)合題目的特點，靈活運用公式變形，達到解題的目的． 三、組合知識的實際應(yīng)用 現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．

7、 (1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？ (2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？ 思路分析：由于選出的教師不需要考慮順序，因此是組合問題．第(1)小題選2名教師不考慮男女，實質(zhì)上是從10個不同的元素中取出2個的組合問題，可用直接法求解．第(2)小題必須選男、女教師各2名，才算完成所做的事，因此需要分兩步進行，先從6名男教師中選2名，再從4名女教師中選2名． 解：(1)從10名教師中選2名參加會議的選法數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即C＝＝45種． (2)從6名男教師中選2名的選法有C，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分

8、步乘法計數(shù)原理，因此共有不同的選法C·C＝·＝90種． 某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有多少種？ 解：方法一：(直接法)至少1名女生當(dāng)選可分為兩類： 第一類：1名女生1名男生當(dāng)選代表，有C·C種方法，第二類：2名女生當(dāng)選代表，有C種方法．由分類加法計數(shù)原理，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有C·C＋C＝21＋3＝24種． 方法二：(間接法)10名學(xué)生中選2名代表有C種選法，若2名代表全是男生有C種選法，所以至少有1名女生當(dāng)選代表的選法有C－C＝24種． 利用組合知識解決實際問題要注意： ①將已

9、知條件中的元素的特征搞清，是用直接法還是間接法； ②要使用分類方法，要做到不重不漏； ③當(dāng)問題的反面比較簡單時，常用間接法解決． 1．給出下面幾個問題，其中是組合問題的有__________． ①某班選10名學(xué)生參加拔河比賽； ②由1,2,3,4選出兩個數(shù)，構(gòu)成平面向量a的坐標(biāo)； ③由1,2,3,4選出兩個數(shù)分別作為雙曲線的實軸和虛軸，焦點在x軸上的雙曲線方程數(shù)； ④從正方體8個頂點中任取兩個點構(gòu)成的線段條數(shù)是多少？ 答案：①④ 解析：由組合的概念知①④是組合問題，與順序無關(guān)，而②③是排列問題，與順序有關(guān)． 2．C＋2C＋C＝__________. 答案：161 70

10、0 解析：原式＝C＋C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝161 700. 3．平面上有12個點，其中沒有3個點在一條直線上，也沒有4個點共圓，過這幾個點中的每三個點作圓，共可作__________個圓． 答案：220 解析：由題意知，可作C＝＝220個不同的圓． 4．解方程：C－C＝C. 解：∵C＝C＋C，∴C－C＝C，∴C＝C. 由組合數(shù)的性質(zhì)得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，解得x＝－3(舍)或x＝5.∴x＝5. 5．平面內(nèi)有10個點，其中任何3點不共線，以其中任意2點為端點，試求：(1)線段有多少條？(2)有向線段有多少條？ 解：(1)所求線段的條數(shù)，即為從10個元素中任取2個元素的組合，共有C＝＝45條不同的線段． (2)所求有向線段的條數(shù)，即為從10個元素中任取2個元素的排列，共有A＝10×9＝90條不同的有向線段． 用精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來，并進行識記． 知識精華 技能要領(lǐng) 最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料