高中數(shù)學（北師大版）選修2-2教案：第4章 拓展資料：走出定積分運用的誤區(qū)

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1、 走出定積分運用的誤區(qū) 通過定積分與微積分基本定理部分知識的學習，初步了解定積分的概念，為以后進一步學習微積分打下基礎．同時體會微積分的產(chǎn)生對人類文化發(fā)展的意義和價值，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神．在實際解題中，由于這部分知識的特殊性，經(jīng)常會由于種種原因出現(xiàn)一些錯誤，下面結(jié)合實際加以剖析． 1．公式應用出錯 微積分基本定理為：一般地，如果是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且=，那么=． 例1．計算． 錯解：== =++=+－=－． 錯解剖析：錯誤的原因在于對微積分基本定理記憶不準，定理的條件與對應的公式不清而導致錯誤．根據(jù)微積分基本定理，相應的公式是==，而不是=． 正解：

2、== =++=+－=． 評注：利用微積分基本定理來計算時通常是把求原函數(shù)與計算原函數(shù)值的差用一串等式表示出來．注意，把積分上、下限代入原函數(shù)求差時，要按步驟進行，以免發(fā)生符號錯誤． 2．幾何意義出錯 我們知道，當函數(shù)在區(qū)間[a，b]上恒為正時，定積分的幾何意義是以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積．在一般情況下，定積分的幾何意義是介于x軸，函數(shù)的圖象以及直線x=a，x=b之間各部分面積的代數(shù)和． 例2．如圖，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上，則陰影部分的面積S為（ ） - 1 - / 3 A． B．－ C．―― D．―+

3、錯解：選擇答案：A或B或C． 錯解剖析：錯誤的原因在于對微積分的幾何意義不理解或理解得不夠透徹而導致出錯．根據(jù)微積分的幾何意義，若，則在[a，b]上的陰影面積S=；若，則在[a，b]上的陰影面積S=－． 正解：如圖所示，在[a，c]上，；在[c，b]上，； 所以函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的陰影部分的面積S=―+， 故選擇答案：D． 評注：在實際求解曲邊梯形的面積時要注意在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負號．各部分面積的代數(shù)和即為：x軸上方的面積減去x軸下方的面積． 3．實際應用出錯 利用定積分可以用來解決平面幾何中的面積問題．其實，除幾何方面外，定積分在工程物理等方面的應用

4、也極其廣泛，可以用來處理變速直線運動的路程和速度問題，也可以用來解決變力的作功問題等． 例3．模擬火箭自靜止開始豎直向上發(fā)射，設起動時即有最大加速度，以此時為起點，加速度滿足，求火箭前內(nèi)的位移． 錯解：由題設知， ====， 即火箭前內(nèi)的位移為． 錯解剖析：錯誤的原因在于對實際應用中的相關問題理解不夠透徹，關系混淆．一般地，變速直線運動的路程問題的一般解法：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v（t）（v（t）0）在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s=．而一般地，變速直線運動的速度問題的一般解法：作變速直線運動的物體所具有的速度v，等于其加速度函數(shù)a=a（t）在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即v=． 正解：由題設知，，，， 所以=， 那么===， 即火箭前內(nèi)的位移為． 評注：先通過定積分求解變速直線運動的物體所具有的速度函數(shù)v（t），再根據(jù)已求的速度函數(shù)，通過定積分求解在對應時間的位移． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！