小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)教案《函數(shù)的對(duì)稱性與周期性》.doc

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小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)教案《函數(shù)的對(duì)稱性與周期性》 周期性：設(shè)函數(shù) 的定義域是 ，若存在非零常數(shù) ，使得對(duì)任何 ，都有 且 ，則函數(shù) 為周期函數(shù)， 為 的一個(gè)周期。 對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì)，他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)系呢？本文就來(lái)研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，有不足之處望大家批評(píng)指正。 一、一個(gè)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)點(diǎn)對(duì)稱。 命題1：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和點(diǎn) 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 從而 即： 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 如果又關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 命題 ：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于兩點(diǎn) 和 對(duì)稱，那么： 當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。 證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 從而 當(dāng) ， 時(shí) 即： 當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 當(dāng) ， 時(shí) 當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。 當(dāng) ， 時(shí) （與條件矛盾，舍去） 綜合得原命題成立。 二、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于一個(gè)點(diǎn)和一條線對(duì)稱。 命題2：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 從而 即： 即： 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 如果又關(guān)于直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 命題 ：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 從而 即： 即： 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。 三、一個(gè)函數(shù)如果關(guān)于兩條線對(duì)稱。 命題3：如果函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是以 為周期的周期函數(shù)。 證明：∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 又∵函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。 從而 即： 是以 為周期的周期函數(shù)。 3 / 3