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第六節(jié) 雙 曲 線
【考綱下載】
1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)．
2．了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用、了解雙曲線的實際背景、了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界或解決實際問題中的作用．
3．理解數(shù)形結(jié)合的思想．
1．雙曲線的定義
滿足以下三個條件的點的軌跡是雙曲線：
(1)在平面內(nèi)；(2)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)；(3)常數(shù)小于|F1F2|.
2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)[來源:]
標準方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖形
性
2、
[來源:]
質(zhì)[來源:]
范圍[來源:][來源:]
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性
對稱軸：坐標軸
對稱中心：原點
頂點
頂點坐標：
A1(－a,0)，A2(a,0)
頂點坐標：
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝x
y＝x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2
實
虛
軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；
線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；
a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
1．與兩定點F1，F(xiàn)2
3、的距離之差的絕對值大于、等于或小于常數(shù)2a的動點的軌跡各是什么？
提示：當2a<|F1F2|且2a≠0時，軌跡是雙曲線；若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；若2a>|F1F2|，則軌跡不存在．
2．雙曲線的離心率的大小與雙曲線“開口”大小有怎樣的關(guān)系？
提示：離心率越大，雙曲線的“開口”越大．
1．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
解析：選C 由題意知，a＝2，故實軸長為2a＝4.
2．雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的左焦點的坐標為( )
A.
4、 B.
C. D．(－，0)
解析：選C 雙曲線方程x2－2y2＝1可化為x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，c2＝a2＋b2＝，c＝.因此，左焦點坐標為.
3．設(shè)P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左右兩個焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于( )
A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不對
解析：選B 由題意知|PF1|＝9
5、)
A．(5，＋∞) B．(2,5)
C．(－2,2) D．(－2,2)或(5，＋∞)
解析：選D 由題意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－25.
5．已知雙曲線－＝1的右焦點的坐標為(，0)，則該雙曲線的漸近線方程為____________________．
解析：依題意知()2＝9＋a，所以a＝4，
故雙曲線方程為－＝1，
則漸近線方程為＝0.
即2x3y＝0.
答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝0
數(shù)學思想(十)
方程思想在求解離心率(范圍)中的應(yīng)用
[典例] 已知點F
6、是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋) D．(2,1＋)
[解題指導] 根據(jù)△ABE的特征，得出邊的關(guān)系，列出關(guān)于a，c的不等式求解即可．
[解析] 由AB⊥x軸，可知△ABE為等腰三角形，又△ABE是銳角三角形，所以∠AEB為銳角，即∠AEF<45，于是|AF|<|EF|，1，從而1
7、<2.
[答案] B
[題后悟道] 離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，求解橢圓或者雙曲線的離心率的關(guān)鍵是建立一個關(guān)于a，b，c的方程(不等式)，通過這個方程(不等式)和b與a，c的關(guān)系消掉b后，建立a，c之間的方程(不等式)，只要能通過這個方程求出即可，不一定具體求出a，c的數(shù)值．
(2014鄭州模擬)已知點F、A分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點、右頂點，點B(0，b)滿足＝0，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
解析：選D 依題意得F(－c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，則＝(c，b)，＝(－a，b)．由＝0，得b2＝ac，所以c2－a2＝ac，＝1，即e－＝1，e2－e－1＝0，解得e＝.又e>1，所以e＝，即雙曲線的離心率等于.
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高考數(shù)學復習：第八章 ：第六節(jié)雙曲線回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
